指数级数

指数级数的定义

指数级数的定义

级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 称为指数级数。

收敛性

指数级数收敛性

对任意实数 $x$，级数都收敛，和为：

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$

证明

使用比值判别法：

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^n} = \frac{x}{n+1}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n+1} = 0 < 1$

所以对任意实数 $x$，级数都收敛。

例题

例 1

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ 的和。

解： 这是指数级数，$x = 1$

所以和为：$e^1 = e$

例 2

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$ 的和。

解： 这是指数级数，$x = 2$

所以和为：$e^2$

例 3

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}$ 的和。

解： 这是指数级数，$x = -1$

所以和为：$e^{-1} = \frac{1}{e}$

练习题

练习 1

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!}$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是指数级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$，其中 $x = 3$
2. 这是指数级数，$x = 3$
3. 计算和：$S = e^3$

答案： 和为 $e^3$。

练习 2

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{n!}$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是指数级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$，其中 $x = -2$
2. 这是指数级数，$x = -2$
3. 计算和：$S = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

答案： 和为 $\frac{1}{e^2}$。

练习 3

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 2)^n}{n!}$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是指数级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$，其中 $x = \ln 2$
2. 这是指数级数，$x = \ln 2$
3. 计算和：$S = e^{\ln 2} = 2$

答案： 和为 $2$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$n!$	数学符号	阶乘	$n$ 的阶乘，$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$
$e$	数学符号	自然常数	自然对数的底，约等于 2.71828
$x$	数学符号	变量	指数级数中的变量
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
指数级数	exponential series	/ˌekspəˈnenʃəl ˈsɪəriːz/	形如 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 的级数
自然常数	natural constant	/ˈnætʃərəl ˈkɒnstənt/	自然对数的底 $e$，约等于 2.71828
阶乘	factorial	/fækˈtɔːriəl/	$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
比值判别法	ratio test	/ˈreɪʃiəʊ test/	通过相邻项比值判断收敛性的方法

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