指数级数

指数级数的定义

级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 称为指数级数。

收敛性

• 对任意实数 $x$，级数都收敛
• 和为 $e^x$

证明

使用比值判别法：

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^n} = \frac{x}{n+1}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n+1} = 0 < 1$

所以对任意实数 $x$，级数都收敛。

例题

例 1

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ 的和。

解： 这是指数级数，$x = 1$

所以和为：$e^1 = e$

例 2

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$ 的和。

解： 这是指数级数，$x = 2$

所以和为：$e^2$

例 3

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}$ 的和。

解： 这是指数级数，$x = -1$

所以和为：$e^{-1} = \frac{1}{e}$

练习题

练习 1

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!}$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是指数级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$，其中 $x = 3$
2. 这是指数级数，$x = 3$
3. 计算和：$S = e^3$

答案： 和为 $e^3$。

练习 2

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{n!}$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是指数级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$，其中 $x = -2$
2. 这是指数级数，$x = -2$
3. 计算和：$S = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

答案： 和为 $\frac{1}{e^2}$。

练习 3

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 2)^n}{n!}$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是指数级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$，其中 $x = \ln 2$
2. 这是指数级数，$x = \ln 2$
3. 计算和：$S = e^{\ln 2} = 2$

答案： 和为 $2$。