比值判别法

定义

比值判别法

设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为正项级数，且 $a_n > 0$，如果：

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$

则：

1. 当 $\rho < 1$ 时，级数收敛（convergence）
2. 当 $\rho > 1$ 时，级数发散（divergence）
3. 当 $\rho = 1$ 时，判别法失效

比值判别法公式

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$

• 当 $\rho < 1$ 时，级数收敛
• 当 $\rho > 1$ 时，级数发散
• 当 $\rho = 1$ 时，判别法失效

适用情况

• 通项包含阶乘、幂次等
• 相邻项比值容易计算

例题

例 1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$ 的收敛性。

解： $a_n = \frac{n!}{n^n}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e} < 1$

所以级数收敛。

练习题

练习 1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 使用比值判别法，计算相邻项的比值极限。

详细步骤：

1. 设 $a_n = \frac{n}{2^n}$
2. 计算比值：$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n}$
3. 求极限：$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1$
4. 判断收敛性：比值小于 1，所以级数收敛

答案： 级数收敛（convergence）。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\rho$	希腊字母	Rho（柔）	表示级数收敛性判别中的极限值
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限
$e$	数学符号	自然常数	自然对数的底，约等于 2.71828

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
比值判别法	ratio test	/ˈreɪʃiəʊ test/	通过相邻项比值判断收敛性的方法
达朗贝尔判别法	d’Alembert’s test	/dælˈæmbəts test/	比值判别法的另一种称呼
正项级数	positive series	/ˈpɒzətɪv ˈsɪəriːz/	所有项都非负的级数
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限

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