绝对收敛与条件收敛

定义

绝对收敛的定义

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 收敛（convergence），则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛（absolute convergence）。

条件收敛的定义

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛（convergence），但 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 发散（divergence），则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛（conditional convergence）。

绝对收敛与条件收敛

• 绝对收敛：如果 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛
• 条件收敛：如果 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，但 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛

定理：绝对收敛的级数必收敛（convergence）。

判别策略

1. 先判断绝对值级数的收敛性
2. 如果绝对收敛，则原级数收敛
3. 如果绝对值级数发散，再判断原级数是否条件收敛

例题

例 1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ 的收敛性。

解：

1. 考虑绝对值级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
2. 这是 $p$ 级数，$p = 2 > 1$，所以绝对收敛
3. 由于绝对收敛，所以原级数收敛

练习题

练习 1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 先判断绝对收敛性，如果绝对收敛则原级数收敛。

详细步骤：

1. 考虑绝对值级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
2. 这是 $p$ 级数，$p = 2 > 1$，所以绝对收敛
3. 由于绝对收敛，所以原级数收敛

答案： 级数收敛（convergence）。

---

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$	a_n	$	数学符号
$a_n$	数学符号	通项	级数中第 $n$ 项

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
绝对收敛	absolute convergence	/ˈæbsəluːt kənˈvɜːdʒəns/	绝对值级数收敛的情况
条件收敛	conditional convergence	/kənˈdɪʃənəl kənˈvɜːdʒəns/	级数收敛但绝对值级数发散的情况
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限
绝对值级数	absolute value series	/ˈæbsəluːt ˈvæljuː ˈsɪəriːz/	由各项绝对值构成的级数

上一章节 莱布尼茨判别法 学习莱布尼茨判别法的定义、使用方法及其应用。