三角函数级数

正弦级数

定义

级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ 称为正弦级数。

收敛性

• 对任意实数 $x$，级数都收敛
• 和为 $\sin x$

证明

使用比值判别法：

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(-1)^{n+1}}{(2(n+1)+1)!} x^{2(n+1)+1} \cdot \frac{(2n+1)!}{(-1)^n x^{2n+1}} = -\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}$

$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)} = 0 < 1$

所以对任意实数 $x$，级数都收敛。

例题

例 1：求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2n+1}$ 的和。

解： 这是正弦级数，$x = \frac{\pi}{2}$

所以和为：$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$

例 2：求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \pi^{2n+1}$ 的和。

解： 这是正弦级数，$x = \pi$

所以和为：$\sin(\pi) = 0$

余弦级数

定义

级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$ 称为余弦级数。

收敛性

• 对任意实数 $x$，级数都收敛
• 和为 $\cos x$

证明

使用比值判别法：

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(-1)^{n+1}}{(2(n+1))!} x^{2(n+1)} \cdot \frac{(2n)!}{(-1)^n x^{2n}} = -\frac{x^2}{(2n+1)(2n+2)}$

$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{x^2}{(2n+1)(2n+2)} = 0 < 1$

所以对任意实数 $x$，级数都收敛。

例题

例 3：求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left(\frac{\pi}{3}\right)^{2n}$ 的和。

解： 这是余弦级数，$x = \frac{\pi}{3}$

所以和为：$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

例 4：求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \pi^{2n}$ 的和。

解： 这是余弦级数，$x = \pi$

所以和为：$\cos(\pi) = -1$

其他三角函数级数

正切级数

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}$ 称为正切级数。

• 收敛区间：$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
• 和为 $\tan x$

反正切级数

级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$ 称为反正切级数。

• 收敛区间：$[-1, 1]$
• 和为 $\arctan x$

练习题

练习 1

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{6}\right)^{2n+1}$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是正弦级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{6}\right)^{2n+1}$ 是正弦级数
2. 确定参数：$x = \frac{\pi}{6}$
3. 计算和：$S = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

答案： 和为 $\frac{1}{2}$。

练习 2

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2n}$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是余弦级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2n}$ 是余弦级数
2. 确定参数：$x = \frac{\pi}{4}$
3. 计算和：$S = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： 和为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

练习 3

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{3}\right)^{2n+1}$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是正弦级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{3}\right)^{2n+1}$ 是正弦级数
2. 确定参数：$x = \frac{\pi}{3}$
3. 计算和：$S = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 和为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。

练习 4

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left(\frac{\pi}{6}\right)^{2n}$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是余弦级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left(\frac{\pi}{6}\right)^{2n}$ 是余弦级数
2. 确定参数：$x = \frac{\pi}{6}$
3. 计算和：$S = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 和为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。

练习 5

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2n+1}$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是正弦级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2n+1}$ 是正弦级数
2. 确定参数：$x = \frac{\pi}{4}$
3. 计算和：$S = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： 和为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。