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无穷级数

幂级数

幂级数的定义

级数 ∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n 称为幂级数。

收敛性

  • 存在收敛半径 RR，当 ∣x∣<R|x| < R 时收敛，当 ∣x∣>R|x| > R 时发散
  • 收敛半径可以通过比值判别法或根值判别法求得

收敛半径的求法

比值判别法

如果 lim⁡n→∞∣an+1an∣=L\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L，则：

  • 当 L=0L = 0 时，R=+∞R = +\infty
  • 当 L=+∞L = +\infty 时，R=0R = 0
  • 当 0<L<+∞0 < L < +\infty 时，R=1LR = \frac{1}{L}

根值判别法

如果 lim⁡n→∞∣an∣n=L\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L，则：

  • 当 L=0L = 0 时，R=+∞R = +\infty
  • 当 L=+∞L = +\infty 时，R=0R = 0
  • 当 0<L<+∞0 < L < +\infty 时，R=1LR = \frac{1}{L}

例题

例 1

求幂级数 ∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} 的收敛半径。

解： an=1n!a_n = \frac{1}{n!}

lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞n!(n+1)!=lim⁡n→∞1n+1=0\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0

所以收敛半径 R=+∞R = +\infty，即对任意实数 xx 都收敛。

例 2

求幂级数 ∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} x^n 的收敛半径。

解： an=1a_n = 1

lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞1=1\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} 1 = 1

所以收敛半径 R=1R = 1，即当 ∣x∣<1|x| < 1 时收敛。

例 3

求幂级数 ∑n=0∞n!xn\sum_{n=0}^{\infty} n! x^n 的收敛半径。

解： an=n!a_n = n!

lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞(n+1)!n!=lim⁡n→∞(n+1)=+∞\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{n!} = \lim_{n \to \infty} (n+1) = +\infty

所以收敛半径 R=0R = 0，即只在 x=0x = 0 时收敛。

例 4

求幂级数 ∑n=0∞xnn2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2} 的收敛半径。

解： an=1n2a_n = \frac{1}{n^2}

lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞n2(n+1)2=1\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2} = 1

所以收敛半径 R=1R = 1，即当 ∣x∣<1|x| < 1 时收敛。

练习题

练习 1

求幂级数 ∑n=0∞n!xn\sum_{n=0}^{\infty} n! x^n 的收敛半径。

参考答案

解题思路： 使用比值判别法求收敛半径。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=0∞n!xn\sum_{n=0}^{\infty} n! x^n 是幂级数
  2. 确定系数：an=n!a_n = n!
  3. 计算比值：lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞(n+1)!n!=lim⁡n→∞(n+1)=+∞\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{n!} = \lim_{n \to \infty} (n+1) = +\infty
  4. 收敛半径：R=1+∞=0R = \frac{1}{+\infty} = 0

答案： 收敛半径为 00，即只在 x=0x = 0 时收敛。

练习 2

求幂级数 ∑n=0∞xnn2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2} 的收敛半径。

参考答案

解题思路： 使用比值判别法求收敛半径。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=0∞xnn2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2} 是幂级数
  2. 确定系数：an=1n2a_n = \frac{1}{n^2}
  3. 计算比值：lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞n2(n+1)2=1\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2} = 1
  4. 收敛半径：R=11=1R = \frac{1}{1} = 1

答案： 收敛半径为 11，即当 ∣x∣<1|x| < 1 时收敛。

练习 3

求幂级数 ∑n=0∞xnn3\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^3} 的收敛半径。

参考答案

解题思路： 使用比值判别法求收敛半径。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=0∞xnn3\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^3} 是幂级数
  2. 确定系数：an=1n3a_n = \frac{1}{n^3}
  3. 计算比值：lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞n3(n+1)3=1\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{(n+1)^3} = 1
  4. 收敛半径：R=11=1R = \frac{1}{1} = 1

答案： 收敛半径为 11，即当 ∣x∣<1|x| < 1 时收敛。

练习 4

求幂级数 ∑n=0∞xn2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n} 的收敛半径。

参考答案

解题思路： 使用比值判别法求收敛半径。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=0∞xn2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n} 是幂级数
  2. 确定系数：an=12na_n = \frac{1}{2^n}
  3. 计算比值：lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞2n2n+1=12\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}
  4. 收敛半径：R=112=2R = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

答案： 收敛半径为 22，即当 ∣x∣<2|x| < 2 时收敛。

练习 5

求幂级数 ∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} 的收敛半径。

参考答案

解题思路： 使用比值判别法求收敛半径。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} 是幂级数
  2. 确定系数：an=1n!a_n = \frac{1}{n!}
  3. 计算比值：lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞n!(n+1)!=lim⁡n→∞1n+1=0\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0
  4. 收敛半径：R=10=+∞R = \frac{1}{0} = +\infty

答案： 收敛半径为 +∞+\infty，即对任意实数 xx 都收敛。

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