几何级数

几何级数的定义

级数 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ 称为几何级数，其中 $a \neq 0$。

收敛性

• 当 $|r| < 1$ 时，级数收敛，和为 $\frac{a}{1 - r}$
• 当 $|r| \geq 1$ 时，级数发散

证明

设 $S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$

则 $rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n$

两式相减：$(1-r)S_n = a - ar^n = a(1-r^n)$

当 $|r| < 1$ 时，$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$

所以 $\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1-r}$

例题

例 1

判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 的收敛性，并求其和。

解： 这是几何级数，$a = 1, r = \frac{1}{2}$

由于 $|r| = \frac{1}{2} < 1$，所以级数收敛。

和为：$S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$

例 2

判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n}$ 的收敛性，并求其和。

解： 这是几何级数，$a = 1, r = \frac{1}{3}$

由于 $|r| = \frac{1}{3} < 1$，所以级数收敛。

和为：$S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$

例 3

判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} 2^n$ 的收敛性。

解： 这是几何级数，$a = 1, r = 2$

由于 $|r| = 2 \geq 1$，所以级数发散。

练习题

练习 1

判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n}$ 的收敛性，并求其和。

参考答案

解题思路： 这是几何级数，需要判断公比的绝对值与 1 的关系。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n}$ 是几何级数
2. 确定参数：$a = 1, r = \frac{1}{4}$
3. 判断收敛性：$|r| = \frac{1}{4} < 1$，所以级数收敛
4. 计算和：$S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{4}{3}$

答案： 级数收敛，和为 $\frac{4}{3}$。

练习 2

判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{5^n}$ 的收敛性，并求其和。

参考答案

解题思路： 这是几何级数，需要判断公比的绝对值与 1 的关系。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{5^n}$ 是几何级数
2. 确定参数：$a = 2, r = \frac{1}{5}$
3. 判断收敛性：$|r| = \frac{1}{5} < 1$，所以级数收敛
4. 计算和：$S = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{1-\frac{1}{5}} = \frac{2}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{2}$

答案： 级数收敛，和为 $\frac{5}{2}$。

练习 3

判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 这是几何级数，需要判断公比的绝对值与 1 的关系。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$ 是几何级数
2. 确定参数：$a = 1, r = -1$
3. 判断收敛性：$|r| = |-1| = 1 \geq 1$，所以级数发散

答案： 级数发散。