几何级数

几何级数的定义

几何级数的定义

级数 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ 称为几何级数，其中 $a \neq 0$。

收敛性

几何级数收敛性

当 $|r| < 1$ 时，级数收敛，和为：

$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r}$

当 $|r| \geq 1$ 时，级数发散。

证明

设 $S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$

则 $rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n$

两式相减：$(1-r)S_n = a - ar^n = a(1-r^n)$

当 $|r| < 1$ 时，$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$

所以 $\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1-r}$

例题

例 1

判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 的收敛性，并求其和。

解： 这是几何级数，$a = 1, r = \frac{1}{2}$

由于 $|r| = \frac{1}{2} < 1$，所以级数收敛。

和为：$S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$

例 2

判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n}$ 的收敛性，并求其和。

解： 这是几何级数，$a = 1, r = \frac{1}{3}$

由于 $|r| = \frac{1}{3} < 1$，所以级数收敛。

和为：$S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$

例 3

判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} 2^n$ 的收敛性。

解： 这是几何级数，$a = 1, r = 2$

由于 $|r| = 2 \geq 1$，所以级数发散。

练习题

练习 1

判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n}$ 的收敛性，并求其和。

参考答案

解题思路： 这是几何级数，需要判断公比的绝对值与 1 的关系。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n}$ 是几何级数
2. 确定参数：$a = 1, r = \frac{1}{4}$
3. 判断收敛性：$|r| = \frac{1}{4} < 1$，所以级数收敛
4. 计算和：$S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{4}{3}$

答案： 级数收敛，和为 $\frac{4}{3}$。

练习 2

判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{5^n}$ 的收敛性，并求其和。

参考答案

解题思路： 这是几何级数，需要判断公比的绝对值与 1 的关系。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{5^n}$ 是几何级数
2. 确定参数：$a = 2, r = \frac{1}{5}$
3. 判断收敛性：$|r| = \frac{1}{5} < 1$，所以级数收敛
4. 计算和：$S = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{1-\frac{1}{5}} = \frac{2}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{2}$

答案： 级数收敛，和为 $\frac{5}{2}$。

练习 3

判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 这是几何级数，需要判断公比的绝对值与 1 的关系。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$ 是几何级数
2. 确定参数：$a = 1, r = -1$
3. 判断收敛性：$|r| = |-1| = 1 \geq 1$，所以级数发散

答案： 级数发散。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$r$	数学符号	公比	几何级数中相邻两项的比值
$a$	数学符号	首项	几何级数的首项
$S_n$	数学符号	部分和	级数的前 $n$ 项和
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
几何级数	geometric series	/dʒiːəˈmetrɪk ˈsɪəriːz/	形如 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ 的级数
公比	common ratio	/ˈkɒmən ˈreɪʃiəʊ/	几何级数中相邻两项的比值 $r$
首项	first term	/fɜːst tɜːm/	几何级数的第一项 $a$
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限
和	sum	/sʌm/	收敛级数的极限值
部分和	partial sum	/ˈpɑːʃəl sʌm/	级数前 $n$ 项的和 $S_n$

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