反正切级数

定义

反正切级数的定义

级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$ 称为反正切级数。

收敛性

反正切级数收敛性

• 收敛区间：$[-1, 1]$
• 和为：

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = \arctan x$

应用

反正切级数在计算 $\pi$ 的值时特别有用。当 $x = 1$ 时：

$\arctan 1 = \frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$

这就是著名的莱布尼茨级数。

例题

例 1

使用反正切级数计算 $\arctan \frac{1}{2}$ 的近似值（取前 5 项）。

解： $\arctan \frac{1}{2} \approx \frac{1}{2} - \frac{1}{3 \cdot 2^3} + \frac{1}{5 \cdot 2^5} - \frac{1}{7 \cdot 2^7} + \frac{1}{9 \cdot 2^9}$

计算得：$\arctan \frac{1}{2} \approx 0.4636$

练习题

练习 1

使用反正切级数计算 $\arctan \frac{1}{3}$ 的近似值（取前 4 项）。

参考答案

解题思路： 使用反正切级数公式，代入 $x = \frac{1}{3}$。

详细步骤：

1. 识别级数类型：这是反正切级数
2. 确定参数：$x = \frac{1}{3}$
3. 计算前 4 项：
   • 第 1 项：$\frac{1}{3}$
   • 第 2 项：$-\frac{1}{3 \cdot 3^3} = -\frac{1}{81}$
   • 第 3 项：$\frac{1}{5 \cdot 3^5} = \frac{1}{1215}$
   • 第 4 项：$-\frac{1}{7 \cdot 3^7} = -\frac{1}{15309}$
4. 求和：$\arctan \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{1}{81} + \frac{1}{1215} - \frac{1}{15309} \approx 0.3218$

答案： $\arctan \frac{1}{3} \approx 0.3218$（前 4 项近似值）。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$x$	数学符号	变量	反正切级数中的变量
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，约等于 3.14159
$\arctan$	数学符号	反正切	反正切函数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
反正切级数	arctangent series	/ɑːkˈtændʒənt ˈsɪəriːz/	反正切函数的级数展开
收敛区间	interval of convergence	/ˈɪntəvəl əv kənˈvɜːdʒəns/	级数收敛的区间
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
莱布尼茨级数	Leibniz series	/ˈlaɪbnɪts ˈsɪəriːz/	用于计算 $\pi$ 的级数

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