对数级数

对数级数的定义

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n$ 称为对数级数。

收敛性

• 当 $|x| < 1$ 时，级数收敛
• 当 $x = 1$ 时，级数收敛（莱布尼茨判别法）
• 和为 $\ln(1+x)$

证明

当 $|x| < 1$ 时，使用比值判别法：

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(-1)^{n+2}}{n+1} x^{n+1} \cdot \frac{n}{(-1)^{n+1} x^n} = -\frac{n}{n+1} x$

$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} |x| = |x| < 1$

所以级数收敛。

当 $x = 1$ 时，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$，这是交错级数，满足莱布尼茨判别法条件，所以收敛。

例题

例 1

求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ 的和。

解： 这是对数级数，$x = \frac{1}{2}$

所以和为：$\ln\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \ln\frac{3}{2}$

例 2

求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{1}{3}\right)^n$ 的和。

解： 这是对数级数，$x = \frac{1}{3}$

所以和为：$\ln\left(1 + \frac{1}{3}\right) = \ln\frac{4}{3}$

例 3

求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ 的和。

解： 这是对数级数，$x = 1$

所以和为：$\ln(1 + 1) = \ln 2$

练习题

练习 1

求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{1}{4}\right)^n$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是对数级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{1}{4}\right)^n$ 是对数级数
2. 确定参数：$x = \frac{1}{4}$
3. 计算和：$S = \ln\left(1 + \frac{1}{4}\right) = \ln\frac{5}{4}$

答案： 和为 $\ln\frac{5}{4}$。

练习 2

求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(-\frac{1}{2}\right)^n$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是对数级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(-\frac{1}{2}\right)^n$ 是对数级数
2. 确定参数：$x = -\frac{1}{2}$
3. 计算和：$S = \ln\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2$

答案： 和为 $-\ln 2$。

练习 3

求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是对数级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ 是对数级数
2. 确定参数：$x = \frac{2}{3}$
3. 计算和：$S = \ln\left(1 + \frac{2}{3}\right) = \ln\frac{5}{3}$

答案： 和为 $\ln\frac{5}{3}$。