Logarithmic Series

Definition

Logarithmic series

The series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n$ is called the logarithmic series.

Convergence

Convergence of the logarithmic series

• Converges when $|x| < 1$
• Converges at $x = 1$ (by the Leibniz test)
• Sum:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = \ln(1+x)$

Proof sketch

When $|x| < 1$, apply the ratio test:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = -\frac{n}{n+1} x$

$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = |x| < 1,$ so it converges.
When $x = 1$, it becomes the alternating harmonic series and converges by Leibniz.

Examples

Example 1

Sum $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

Solution: $x = \frac{1}{2}$, so $\ln\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \ln\frac{3}{2}$.

Example 2

Sum $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{1}{3}\right)^n$.

Solution: $x = \frac{1}{3}$, so $\ln\frac{4}{3}$.

Example 3

Sum $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$.

Solution: $x = 1$, so $\ln 2$.

练习题

练习 1

Sum $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{1}{4}\right)^n$.

参考答案

思路：Logarithmic series with $x = \frac{1}{4}$.

答案：$\ln\frac{5}{4}$。

练习 2

Sum $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(-\frac{1}{2}\right)^n$.

参考答案

思路：$x = -\frac{1}{2}$.

答案：$\ln\left(1 - \frac{1}{2}\right) = -\ln 2$。

练习 3

Sum $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{2}{3}\right)^n$.

参考答案

思路：$x = \frac{2}{3}$.

答案：$\ln\frac{5}{3}$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$x$	数学符号	变量	对数级数中的变量
$\ln$	数学符号	自然对数	自然对数函数，$\ln x = \log_e x$
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
对数级数	logarithmic series	/ˌlɒɡəˈrɪðmɪk ˈsɪəriːz/	形如 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n$ 的级数
自然对数	natural logarithm	/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪðəm/	以 $e$ 为底的对数，记作 $\ln x$
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
收敛区间	interval of convergence	/ˈɪntəvəl əv kənˈvɜːdʒəns/	级数收敛的区间
比值判别法	ratio test	/ˈreɪʃiəʊ test/	通过相邻项比值判断收敛性的方法
莱布尼茨判别法	Leibniz test	/ˈlaɪbnɪts test/	判断交错级数收敛性的方法

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