Sine Series

Definition

Sine series

The series $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ is called the sine series.

Convergence

Convergence of the sine series

For any real $x$,

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = \sin x$

Proof sketch

Ratio test:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = -\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}, \quad \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 0 < 1,$ so it converges for all real $x$.

Examples

Example 1

Sum $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2n+1}$.

Solution: $x = \frac{\pi}{2}$, so $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Example 2

Sum $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \pi^{2n+1}$.

Solution: $x = \pi$, so $\sin(\pi) = 0$.

练习题

练习 1

Sum $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{6}\right)^{2n+1}$.

参考答案

思路：Sine series with $x = \frac{\pi}{6}$.

答案：$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$。

练习 2

Sum $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{3}\right)^{2n+1}$.

参考答案

思路：$x = \frac{\pi}{3}$.

答案：$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

练习 3

Sum $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2n+1}$.

参考答案

思路：$x = \frac{\pi}{4}$.

答案：$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$n!$	数学符号	阶乘	$n$ 的阶乘，$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$
$x$	数学符号	变量	正弦级数中的变量
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，约等于 3.14159
$\sin$	数学符号	正弦	正弦函数
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
正弦级数	sine series	/saɪn ˈsɪəriːz/	形如 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ 的级数
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
比值判别法	ratio test	/ˈreɪʃiəʊ test/	通过相邻项比值判断收敛性的方法

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