Comparison Test

Definition

Comparison test

Let $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ and $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ be positive-term series with $a_n \le b_n$ (for large $n$). Then:

1. If $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ converges, so does $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
2. If $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverges, so does $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$.

Tips

• Compare with known convergent series (e.g., $p$-series, geometric).
• Compare with known divergent series (e.g., harmonic).

Example

Example 1

Determine convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$.

Solution: $\frac{1}{n^2+1} < \frac{1}{n^2}$ and $\sum \frac{1}{n^2}$ converges ($p=2$), so by comparison it converges.

练习题

练习 1

Determine convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$.

参考答案

思路：Compare with $\sum \frac{1}{n^2}$.

答案：收敛（convergence）。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$n$	数学符号	项数	级数中的项数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
比较判别法	comparison test	/kəmˈpærɪsən test/	通过比较判断级数收敛性的方法
正项级数	positive series	/ˈpɒzətɪv ˈsɪəriːz/	所有项都非负的级数
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限
$p$ 级数	$p$-series	/piː ˈsɪəriːz/	形如 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 的级数

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