Power Series

Definition

Power series

The series $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ is called a power series, where $a_n$ are coefficients and $x$ is the variable.

Convergence

Convergence of power series

There exists a radius of convergence $R$ such that:

• $|x| < R$: convergent
• $|x| > R$: divergent
• $|x| = R$: needs separate check

You can find $R$ via the ratio or root test.

Finding the radius

Ratio test

Using the ratio test

If $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L$, then

• $L = 0 \Rightarrow R = +\infty$
• $L = +\infty \Rightarrow R = 0$
• $0 < L < +\infty \Rightarrow R = \frac{1}{L}$

Root test

Using the root test

If $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$, then

• $L = 0 \Rightarrow R = +\infty$
• $L = +\infty \Rightarrow R = 0$
• $0 < L < +\infty \Rightarrow R = \frac{1}{L}$

Examples

Example 1

Radius of $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.

Solution: $a_n = \frac{1}{n!}$, ratio limit $0$, so $R = +\infty$.

Example 2

Radius of $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$.

Solution: $a_n = 1$, ratio limit $1$, so $R = 1$.

Example 3

Radius of $\sum_{n=0}^{\infty} n! x^n$.

Solution: ratio $\to +\infty$, so $R = 0$.

Example 4

Radius of $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$.

Solution: ratio $\to 1$, so $R = 1$.

练习题

练习 1

Radius of $\sum_{n=0}^{\infty} n! x^n$.

参考答案

思路：Ratio test: $\frac{(n+1)!}{n!} = n+1 \to +\infty$.

答案：$R = 0$.

练习 2

Radius of $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$.

参考答案

思路：Ratio $\to 1$.

答案：$R = 1$.

练习 3

Radius of $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^3}$.

参考答案

思路：Ratio $\to 1$.

答案：$R = 1$.

练习 4

Radius of $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n}$.

参考答案

思路：Ratio $\to \frac{1}{2}$.

答案：$R = 2$.

练习 5

Radius of $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.

参考答案

思路：Ratio $\to 0$.

答案：$R = +\infty$.

---

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$a_n$	数学符号	系数	幂级数中第 $n$ 项的系数
$x$	数学符号	变量	幂级数中的变量
$R$	数学符号	收敛半径	幂级数收敛的半径
$L$	数学符号	极限值	比值或根值的极限
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限
$n!$	数学符号	阶乘	$n$ 的阶乘，$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
幂级数	power series	/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/	形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的级数
收敛半径	radius of convergence	/ˈreɪdiəs əv kənˈvɜːdʒəns/	幂级数收敛的半径 $R$
系数	coefficient	/kəʊɪˈfɪʃənt/	幂级数中各项的系数 $a_n$
比值判别法	ratio test	/ˈreɪʃiəʊ test/	通过相邻项比值判断收敛性的方法
根值判别法	root test	/ruːt test/	通过 $n$ 次根判断收敛性的方法
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限
阶乘	factorial	/fækˈtɔːriəl/	$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$

PreviousLogarithmic SeriesLearn the logarithmic series, its convergence, and typical examples. NextTrigonometric SeriesPower-series expansions for sine, cosine, tangent, and arctangent.