$p$-Series

Definition

$p$-series

The series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ is called a $p$-series, where $p$ is a real number.

Convergence

Convergence of $p$-series

• Converges when $p > 1$
• Diverges when $p \leq 1$

Proof sketch

Use the integral test.

Let $f(x) = \frac{1}{x^p}$, continuous, decreasing, and nonnegative on $[1,+\infty)$ with $a_n = f(n)$.

For $p \neq 1$: $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx = \frac{x^{1-p}}{1-p} \big|_1^{+\infty}$

• If $p > 1$, the integral converges.
• If $p < 1$, the integral diverges.

For $p = 1$: $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \ln x \big|_1^{+\infty} = +\infty,$ so it diverges.

Examples

Example 1: Determine convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$.

Solution: $p = 2 > 1$ so it converges.

Example 2: Determine convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$.

Solution: $p = 3 > 1$ so it converges.

Example 3: Determine convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$.

Solution: $p = \frac{1}{2} \le 1$ so it diverges.

练习题

练习 1

Determine convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$.

参考答案

思路：$p$-series, compare $p$ with 1.

答案：$p = 3 > 1$, convergent.

练习 2

Determine convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$.

参考答案

思路：$p$-series, $p = 4 > 1$.

答案：Convergent.

练习 3

Determine convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$.

参考答案

思路：$p$-series, $p = \frac{1}{2} \le 1$.

答案：Divergent.

练习 4

Determine convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1.5}}$.

参考答案

思路：$p$-series, $p = 1.5 > 1$.

答案：Convergent.

---

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$p$	数学符号	参数	$p$ 级数的参数，决定级数的收敛性
$n$	数学符号	项数	级数中的项数
$\int$	数学符号	积分	表示定积分或不定积分
$\ln$	数学符号	自然对数	自然对数函数
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
$p$ 级数	$p$-series	/piː ˈsɪəriːz/	形如 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 的级数
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限
积分判别法	integral test	/ˈɪntɪɡrəl test/	通过积分判断级数收敛性的方法
比较判别法	comparison test	/kəmˈpærɪsən test/	通过比较判断级数收敛性的方法

PreviousGeometric SeriesLearn the definition, convergence, and applications of geometric series. NextHarmonic SeriesLearn the definition of the harmonic series, its divergence, and common proofs.