Absolute vs. Conditional Convergence

Definitions

Absolute convergence

If $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ converges, then $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ is absolutely convergent.

Conditional convergence

If $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converges but $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ diverges, then $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ is conditionally convergent.

Key facts

• Absolute convergence: if $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ converges, then $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converges.
• Conditional convergence: $\sum a_n$ converges while $\sum |a_n|$ diverges.

Theorem: Absolute convergence implies convergence.

Strategy

1. Test the absolute-value series first.
2. If it converges, the original converges.
3. If it diverges, check for conditional convergence (e.g., alternating).

Example

Example 1

Determine convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$.

Solution:

1. Absolute series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ is a $p$-series with $p=2>1$ → convergent.
2. Therefore the original converges absolutely.

练习题

练习 1

Determine convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$.

参考答案

思路：Check absolute convergence.

步骤：

1. $\sum \frac{1}{n^2}$ converges ($p=2>1$)
2. Hence the original converges.

答案：收敛（convergence）。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$	a_n	$	数学符号
$a_n$	数学符号	通项	级数中第 $n$ 项

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
绝对收敛	absolute convergence	/ˈæbsəluːt kənˈvɜːdʒəns/	绝对值级数收敛的情况
条件收敛	conditional convergence	/kənˈdɪʃənəl kənˈvɜːdʒəns/	级数收敛但绝对值级数发散的情况
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限
绝对值级数	absolute value series	/ˈæbsəluːt ˈvæljuː ˈsɪəriːz/	由各项绝对值构成的级数

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