Exponential Series

Definition

Exponential series

The series $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ is called the exponential series.

Convergence

Convergence of the exponential series

For any real $x$, the series converges with sum

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$

Proof sketch

Use the ratio test:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^n} = \frac{x}{n+1}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0 < 1,$ so it converges for all real $x$.

Examples

Example 1

Find $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$.

Solution: exponential series with $x = 1$, so $e$.

Example 2

Find $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$.

Solution: $x = 2$, so $e^2$.

Example 3

Find $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}$.

Solution: $x = -1$, so $e^{-1} = \frac{1}{e}$.

练习题

练习 1

Compute $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!}$.

参考答案

思路：Exponential series with $x = 3$.

答案：$e^3$.

练习 2

Compute $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{n!}$.

参考答案

思路：Exponential series with $x = -2$.

答案：$e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.

练习 3

Compute $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 2)^n}{n!}$.

参考答案

思路：Exponential series with $x = \ln 2$.

答案：$e^{\ln 2} = 2$.

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$n!$	数学符号	阶乘	$n$ 的阶乘，$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$
$e$	数学符号	自然常数	自然对数的底，约等于 2.71828
$x$	数学符号	变量	指数级数中的变量
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
指数级数	exponential series	/ˌekspəˈnenʃəl ˈsɪəriːz/	形如 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 的级数
自然常数	natural constant	/ˈnætʃərəl ˈkɒnstənt/	自然对数的底 $e$，约等于 2.71828
阶乘	factorial	/fækˈtɔːriəl/	$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
比值判别法	ratio test	/ˈreɪʃiəʊ test/	通过相邻项比值判断收敛性的方法

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