比较判别法

定义

比较判别法

设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都是正项级数，且 $a_n \leq b_n$（$n$ 充分大时），则：

1. 如果 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛（convergence），则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛（convergence）
2. 如果 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散（divergence），则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散（divergence）

使用技巧

• 与已知收敛的级数比较（如 $p$ 级数、几何级数）
• 与已知发散的级数比较（如调和级数）

例题

例 1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$ 的收敛性。

解： 由于 $\frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的 $p$ 级数（$p = 2 > 1$），

所以由比较判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$ 收敛。

练习题

练习 1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 使用比较判别法，与已知收敛的级数进行比较。

详细步骤：

1. 由于 $\frac{1}{n^2 + n} < \frac{1}{n^2}$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的 $p$ 级数（$p = 2 > 1$）
2. 由比较判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$ 收敛

答案： 级数收敛（convergence）。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$n$	数学符号	项数	级数中的项数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
比较判别法	comparison test	/kəmˈpærɪsən test/	通过比较判断级数收敛性的方法
正项级数	positive series	/ˈpɒzətɪv ˈsɪəriːz/	所有项都非负的级数
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限
$p$ 级数	$p$-series	/piː ˈsɪəriːz/	形如 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 的级数

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