正弦级数

定义

正弦级数的定义

级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ 称为正弦级数。

收敛性

正弦级数收敛性

对任意实数 $x$，级数都收敛，和为：

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = \sin x$

证明

使用比值判别法：

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(-1)^{n+1}}{(2(n+1)+1)!} x^{2(n+1)+1} \cdot \frac{(2n+1)!}{(-1)^n x^{2n+1}} = -\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}$

$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)} = 0 < 1$

所以对任意实数 $x$，级数都收敛。

例题

例 1

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2n+1}$ 的和。

解： 这是正弦级数，$x = \frac{\pi}{2}$

所以和为：$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$

例 2

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \pi^{2n+1}$ 的和。

解： 这是正弦级数，$x = \pi$

所以和为：$\sin(\pi) = 0$

练习题

练习 1

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{6}\right)^{2n+1}$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是正弦级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{6}\right)^{2n+1}$ 是正弦级数
2. 确定参数：$x = \frac{\pi}{6}$
3. 计算和：$S = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

答案： 和为 $\frac{1}{2}$。

练习 2

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{3}\right)^{2n+1}$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是正弦级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{3}\right)^{2n+1}$ 是正弦级数
2. 确定参数：$x = \frac{\pi}{3}$
3. 计算和：$S = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 和为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。

练习 3

求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2n+1}$ 的和。

参考答案

解题思路： 这是正弦级数，需要确定 $x$ 的值。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2n+1}$ 是正弦级数
2. 确定参数：$x = \frac{\pi}{4}$
3. 计算和：$S = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： 和为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$n!$	数学符号	阶乘	$n$ 的阶乘，$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$
$x$	数学符号	变量	正弦级数中的变量
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，约等于 3.14159
$\sin$	数学符号	正弦	正弦函数
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
正弦级数	sine series	/saɪn ˈsɪəriːz/	形如 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ 的级数
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
比值判别法	ratio test	/ˈreɪʃiəʊ test/	通过相邻项比值判断收敛性的方法

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