莱布尼茨判别法

定义

莱布尼茨判别法

如果交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ 满足：

则级数收敛。

注意：这是充分条件，满足条件的交错级数必收敛。

$\sum$ （sigma）：希腊字母，读作”西格玛”，表示求和符号。

$\infty$ （无穷大）：表示无穷大，在级数中表示项数无限。

$\lim$ ：极限符号，表示数列或函数的极限。

莱布尼茨判别法条件

交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ 收敛的充分条件：

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ 的收敛性。

解：这是交错级数， $a_n = \frac{1}{n}$

满足莱布尼茨判别法的条件，所以级数收敛。

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{1/2}}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路：先判断绝对收敛性，如果绝对收敛则原级数收敛。

详细步骤：

考虑绝对值级数： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$
这是 $p$ 级数， $p = \frac{1}{2} \leq 1$ ，所以发散
由于绝对值级数发散，需要进一步判断
原级数是交错级数， $a_n = \frac{1}{n^{1/2}}$
检查莱布尼茨判别法条件：
- $a_n > 0$ ✓
- $a_{n+1} < a_n$ ✓（因为 $\frac{1}{(n+1)^{1/2}} < \frac{1}{n^{1/2}}$ ）
- $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ ✓
满足莱布尼茨判别法条件，所以级数收敛

答案：级数收敛（条件收敛）（conditional convergence）。

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限
$a_n$	数学符号	通项	级数中第 $n$ 项