积分判别法

定义

积分判别法

设 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上连续、单调递减且非负，$a_n = f(n)$，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与积分 $\int_1^{+\infty} f(x) dx$ 同敛散。

积分判别法

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与积分 $\int_1^{+\infty} f(x) dx$ 同敛散，其中 $a_n = f(n)$，$f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上连续、单调递减且非负。

适用情况

• 通项可以表示为连续函数
• 其他判别法难以应用时

例题

例 1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}$ 的收敛性。

解： 设 $f(x) = \frac{1}{x\ln x}$，则 $a_n = f(n)$

计算积分：$\int_2^{+\infty} \frac{1}{x\ln x} dx = \int_2^{+\infty} \frac{1}{\ln x} d(\ln x) = \ln(\ln x) \big|_2^{+\infty} = +\infty$

积分发散，所以级数发散。

练习题

练习 1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 使用积分判别法，将级数与积分进行比较。

详细步骤：

1. 设 $f(x) = \frac{1}{x\ln x}$，则 $a_n = f(n)$
2. 计算积分：$\int_2^{+\infty} \frac{1}{x\ln x} dx = \int_2^{+\infty} \frac{1}{\ln x} d(\ln x) = \ln(\ln x) \big|_2^{+\infty} = +\infty$
3. 积分发散，所以级数发散

答案： 级数发散（divergence）。

---

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$\int$	数学符号	积分	表示定积分或不定积分
$f(x)$	数学符号	函数	连续函数
$a_n$	数学符号	通项	级数中第 $n$ 项
$\ln$	数学符号	自然对数	自然对数函数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
积分判别法	integral test	/ˈɪntɪɡrəl test/	通过积分判断级数收敛性的方法
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限
连续函数	continuous function	/kənˈtɪnjʊəs ˈfʌŋkʃən/	在定义域内连续的函数
单调递减	monotonically decreasing	/ˌmɒnəˈtɒnɪkli dɪˈkriːsɪŋ/	函数值随自变量增大而减小

上一章节 根值判别法 学习根值判别法（柯西判别法）的定义、使用方法及其应用。 下一章节 莱布尼茨判别法 学习莱布尼茨判别法的定义、使用方法及其应用。