调和级数

定义

调和级数的定义

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 称为调和级数。调和级数是 $p$ 级数的特殊情况，当 $p = 1$ 时。

收敛性

调和级数收敛性

调和级数是发散的。

证明

方法一：p级数判别法

调和级数是 $p$ 级数的特殊情况，$p = 1 \leq 1$，所以发散。

方法二：积分判别法

也可以用积分判别法证明：

$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \ln x \big|_1^{+\infty} = +\infty$

积分发散，所以级数发散。

调和级数发散的其他证明

方法一：分组法

将调和级数按如下方式分组：

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \cdots$

$= 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) + \cdots$

$> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots$

$= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots$

$= 1 + \frac{1}{2} \times \infty = +\infty$

所以调和级数发散。

方法二：比较法

由于 $\frac{1}{n} \geq \frac{1}{n+1}$，所以：

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \geq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$

而 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 只差一个常数项，所以如果 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$ 也收敛，这与调和级数发散矛盾。

练习题

练习 1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 这是调和级数，是 $p$ 级数的特殊情况。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是调和级数
2. 确定 $p$ 值：$p = 1$
3. 判断收敛性：$p = 1 \leq 1$，所以级数发散

答案： 级数发散。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$n$	数学符号	项数	级数中的项数
$\int$	数学符号	积分	表示定积分或不定积分
$\ln$	数学符号	自然对数	自然对数函数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
调和级数	harmonic series	/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，$p = 1$ 时的 $p$ 级数
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限
积分判别法	integral test	/ˈɪntɪɡrəl test/	通过积分判断级数收敛性的方法
比较判别法	comparison test	/kəmˈpærɪsən test/	通过比较判断级数收敛性的方法
分组法	grouping method	/ˈɡruːpɪŋ ˈmeθəd/	通过分组证明级数发散的方法

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