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无穷级数

对数级数

对数级数的定义

对数级数的定义

级数 ∑n=1∞(−1)n+1nxn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n 称为对数级数。

符号说明
符号类型读音/说明在本文中的含义
∑\sum希腊字母Sigma（西格玛）求和符号，表示级数
∞\infty数学符号无穷大表示无穷级数，项数无限
ln⁡\ln数学符号自然对数自然对数函数，ln⁡x=log⁡ex\ln x = \log_e x

收敛性

对数级数收敛性
  • 当 ∣x∣<1|x| < 1 时，级数收敛
  • 当 x=1x = 1 时，级数收敛（莱布尼茨判别法）
  • 和为：

∑n=1∞(−1)n+1nxn=ln⁡(1+x)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = \ln(1+x)

证明

当 ∣x∣<1|x| < 1 时

使用比值判别法：

an+1an=(−1)n+2n+1xn+1⋅n(−1)n+1xn=−nn+1x\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(-1)^{n+2}}{n+1} x^{n+1} \cdot \frac{n}{(-1)^{n+1} x^n} = -\frac{n}{n+1} x

lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞nn+1∣x∣=∣x∣<1\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} |x| = |x| < 1

所以级数收敛。

当 x=1x = 1 时

级数变为 ∑n=1∞(−1)n+1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}，这是交错级数，满足莱布尼茨判别法条件，所以收敛。

例题

例 1

求级数 ∑n=1∞(−1)n+1n(12)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{1}{2}\right)^n 的和。

解： 这是对数级数，x=12x = \frac{1}{2}

所以和为：ln⁡(1+12)=ln⁡32\ln\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \ln\frac{3}{2}

例 2

求级数 ∑n=1∞(−1)n+1n(13)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{1}{3}\right)^n 的和。

解： 这是对数级数，x=13x = \frac{1}{3}

所以和为：ln⁡(1+13)=ln⁡43\ln\left(1 + \frac{1}{3}\right) = \ln\frac{4}{3}

例 3

求级数 ∑n=1∞(−1)n+1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} 的和。

解： 这是对数级数，x=1x = 1

所以和为：ln⁡(1+1)=ln⁡2\ln(1 + 1) = \ln 2

练习题

练习 1

求级数 ∑n=1∞(−1)n+1n(14)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{1}{4}\right)^n 的和。

参考答案(2 个标签)
对数级数级数求和

解题思路： 这是对数级数，需要确定 xx 的值。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=1∞(−1)n+1n(14)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{1}{4}\right)^n 是对数级数
  2. 确定参数：x=14x = \frac{1}{4}
  3. 计算和：S=ln⁡(1+14)=ln⁡54S = \ln\left(1 + \frac{1}{4}\right) = \ln\frac{5}{4}

答案： 和为 ln⁡54\ln\frac{5}{4}。

练习 2

求级数 ∑n=1∞(−1)n+1n(−12)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(-\frac{1}{2}\right)^n 的和。

参考答案(2 个标签)
对数级数级数求和

解题思路： 这是对数级数，需要确定 xx 的值。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=1∞(−1)n+1n(−12)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(-\frac{1}{2}\right)^n 是对数级数
  2. 确定参数：x=−12x = -\frac{1}{2}
  3. 计算和：S=ln⁡(1−12)=ln⁡12=−ln⁡2S = \ln\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2

答案： 和为 −ln⁡2-\ln 2。

练习 3

求级数 ∑n=1∞(−1)n+1n(23)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{2}{3}\right)^n 的和。

参考答案(2 个标签)
对数级数级数求和

解题思路： 这是对数级数，需要确定 xx 的值。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=1∞(−1)n+1n(23)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{2}{3}\right)^n 是对数级数
  2. 确定参数：x=23x = \frac{2}{3}
  3. 计算和：S=ln⁡(1+23)=ln⁡53S = \ln\left(1 + \frac{2}{3}\right) = \ln\frac{5}{3}

答案： 和为 ln⁡53\ln\frac{5}{3}。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
xx数学符号变量对数级数中的变量
lim⁡\lim数学符号极限表示数列或函数的极限

中英对照

中文术语英文术语音标说明
对数级数logarithmic series/ˌlɒɡəˈrɪðmɪk ˈsɪəriːz/形如 ∑n=1∞(−1)n+1nxn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n 的级数
自然对数natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪðəm/以 ee 为底的对数，记作 ln⁡x\ln x
收敛convergence/kənˈvɜːdʒəns/级数部分和序列有有限极限
收敛区间interval of convergence/ˈɪntəvəl əv kənˈvɜːdʒəns/级数收敛的区间
比值判别法ratio test/ˈreɪʃiəʊ test/通过相邻项比值判断收敛性的方法
莱布尼茨判别法Leibniz test/ˈlaɪbnɪts test/判断交错级数收敛性的方法
上一章节
指数级数
学习指数级数的定义、收敛性及其应用。
下一章节
幂级数
学习幂级数的定义、收敛半径与收敛区间、幂级数的运算性质，以及泰勒展开与函数的幂级数展开。