实际应用问题
实际应用问题
物理应用
1. 运动学问题
例子 1 ：一个物体沿直线运动，位移函数为 s ( t ) = t 3 − 3 t 2 + 2 s(t) = t^3 - 3t^2 + 2 s ( t ) = t 3 − 3 t 2 + 2
解 ：
速度 v ( t ) = s ′ ( t ) = 3 t 2 − 6 t = 3 t ( t − 2 ) v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t = 3t(t-2) v ( t ) = s ′ ( t ) = 3 t 2 − 6 t = 3 t ( t − 2 )
令 v ( t ) = 0 v(t) = 0 v ( t ) = 0 t = 0 , 2 t = 0, 2 t = 0 , 2
速度为零的时刻为 t = 0 t = 0 t = 0 t = 2 t = 2 t = 2
例子 2 ：一个物体沿直线运动，位移函数为 s ( t ) = sin t s(t) = \sin t s ( t ) = sin t
解 ：
速度 v ( t ) = s ′ ( t ) = cos t v(t) = s'(t) = \cos t v ( t ) = s ′ ( t ) = cos t
加速度 a ( t ) = v ′ ( t ) = − sin t a(t) = v'(t) = -\sin t a ( t ) = v ′ ( t ) = − sin t
令 a ( t ) = 0 a(t) = 0 a ( t ) = 0 sin t = 0 \sin t = 0 sin t = 0
加速度为零的时刻为 t = n π t = n\pi t = nπ n n n
2. 力学问题
例子 ：一个弹簧的势能为 U ( x ) = 1 2 k x 2 U(x) = \frac{1}{2}kx^2 U ( x ) = 2 1 k x 2
解 ：
力 F ( x ) = − U ′ ( x ) = − k x F(x) = -U'(x) = -kx F ( x ) = − U ′ ( x ) = − k x
平衡位置：F ( x ) = 0 F(x) = 0 F ( x ) = 0 x = 0 x = 0 x = 0
3. 热学问题
例子 ：某物体的温度变化函数为 T ( t ) = T 0 + ( T 1 − T 0 ) e − k t T(t) = T_0 + (T_1 - T_0)e^{-kt} T ( t ) = T 0 + ( T 1 − T 0 ) e − k t
解 ：
温度变化率 T ′ ( t ) = − k ( T 1 − T 0 ) e − k t T'(t) = -k(T_1 - T_0)e^{-kt} T ′ ( t ) = − k ( T 1 − T 0 ) e − k t
温度变化率的变化率 T ′ ′ ( t ) = k 2 ( T 1 − T 0 ) e − k t T''(t) = k^2(T_1 - T_0)e^{-kt} T ′′ ( t ) = k 2 ( T 1 − T 0 ) e − k t
令 T ′ ′ ( t ) = 0 T''(t) = 0 T ′′ ( t ) = 0 t = 0 t = 0 t = 0
温度变化率在 t = 0 t = 0 t = 0
经济应用
1. 成本函数
例子 1 ：某产品的成本函数为 C ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x + 10 C(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 10 C ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x + 10
解 ：
平均成本 A C ( x ) = C ( x ) x = x 2 − 3 x + 2 + 10 x AC(x) = \frac{C(x)}{x} = x^2 - 3x + 2 + \frac{10}{x} A C ( x ) = x C ( x ) = x 2 − 3 x + 2 + x 10
A C ′ ( x ) = 2 x − 3 − 10 x 2 AC'(x) = 2x - 3 - \frac{10}{x^2} A C ′ ( x ) = 2 x − 3 − x 2 10 令 A C ′ ( x ) = 0 AC'(x) = 0 A C ′ ( x ) = 0 2 x 3 − 3 x 2 − 10 = 0 2x^3 - 3x^2 - 10 = 0 2 x 3 − 3 x 2 − 10 = 0
通过数值方法求解，得到 x ≈ 2.5 x \approx 2.5 x ≈ 2.5
例子 2 ：某产品的成本函数为 C ( x ) = 100 + 5 x + 0.1 x 2 C(x) = 100 + 5x + 0.1x^2 C ( x ) = 100 + 5 x + 0.1 x 2
解 ：
边际成本 M C ( x ) = C ′ ( x ) = 5 + 0.2 x MC(x) = C'(x) = 5 + 0.2x MC ( x ) = C ′ ( x ) = 5 + 0.2 x
2. 收益函数
例子 ：某产品的需求函数为 p = 100 − 2 x p = 100 - 2x p = 100 − 2 x
解 ：
收益函数 R ( x ) = p x = ( 100 − 2 x ) x = 100 x − 2 x 2 R(x) = px = (100 - 2x)x = 100x - 2x^2 R ( x ) = p x = ( 100 − 2 x ) x = 100 x − 2 x 2
R ′ ( x ) = 100 − 4 x R'(x) = 100 - 4x R ′ ( x ) = 100 − 4 x 令 R ′ ( x ) = 0 R'(x) = 0 R ′ ( x ) = 0 x = 25 x = 25 x = 25
收益最大的产量为 x = 25 x = 25 x = 25
3. 利润函数
例子 ：某产品的成本函数为 C ( x ) = 100 + 5 x + 0.1 x 2 C(x) = 100 + 5x + 0.1x^2 C ( x ) = 100 + 5 x + 0.1 x 2 p = 100 − 2 x p = 100 - 2x p = 100 − 2 x
解 ：
收益函数 R ( x ) = p x = ( 100 − 2 x ) x = 100 x − 2 x 2 R(x) = px = (100 - 2x)x = 100x - 2x^2 R ( x ) = p x = ( 100 − 2 x ) x = 100 x − 2 x 2
利润函数 π ( x ) = R ( x ) − C ( x ) = 100 x − 2 x 2 − ( 100 + 5 x + 0.1 x 2 ) \pi(x) = R(x) - C(x) = 100x - 2x^2 - (100 + 5x + 0.1x^2) π ( x ) = R ( x ) − C ( x ) = 100 x − 2 x 2 − ( 100 + 5 x + 0.1 x 2 )
= − 2.1 x 2 + 95 x − 100 = -2.1x^2 + 95x - 100 = − 2.1 x 2 + 95 x − 100 π ′ ( x ) = − 4.2 x + 95 \pi'(x) = -4.2x + 95 π ′ ( x ) = − 4.2 x + 95 令 π ′ ( x ) = 0 \pi'(x) = 0 π ′ ( x ) = 0 x = 95 4.2 ≈ 22.6 x = \frac{95}{4.2} \approx 22.6 x = 4.2 95 ≈ 22.6
利润最大的产量约为 x = 22.6 x = 22.6 x = 22.6
生物学应用
1. 种群增长
例子 ：某种群的数量变化函数为 N ( t ) = K 1 + A e − r t N(t) = \frac{K}{1 + Ae^{-rt}} N ( t ) = 1 + A e − r t K
解 ：
种群增长率 N ′ ( t ) = K r A e − r t ( 1 + A e − r t ) 2 N'(t) = \frac{KrAe^{-rt}}{(1 + Ae^{-rt})^2} N ′ ( t ) = ( 1 + A e − r t ) 2 Kr A e − r t
增长率的变化率 N ′ ′ ( t ) = K r 2 A e − r t ( A e − r t − 1 ) ( 1 + A e − r t ) 3 N''(t) = \frac{Kr^2Ae^{-rt}(Ae^{-rt} - 1)}{(1 + Ae^{-rt})^3} N ′′ ( t ) = ( 1 + A e − r t ) 3 K r 2 A e − r t ( A e − r t − 1 )
令 N ′ ′ ( t ) = 0 N''(t) = 0 N ′′ ( t ) = 0 A e − r t = 1 Ae^{-rt} = 1 A e − r t = 1
解得 t = ln A r t = \frac{\ln A}{r} t = r l n A
2. 药物浓度
例子 ：某药物在血液中的浓度函数为 C ( t ) = C 0 e − k t C(t) = C_0e^{-kt} C ( t ) = C 0 e − k t
解 ：
浓度变化率 C ′ ( t ) = − k C 0 e − k t C'(t) = -kC_0e^{-kt} C ′ ( t ) = − k C 0 e − k t
浓度变化率的变化率 C ′ ′ ( t ) = k 2 C 0 e − k t C''(t) = k^2C_0e^{-kt} C ′′ ( t ) = k 2 C 0 e − k t
浓度变化率在 t = 0 t = 0 t = 0
工程应用
1. 结构优化
例子 ：一个圆柱形容器的体积为 V V V
解 ：
设半径为 r r r h h h
体积 V = π r 2 h V = \pi r^2h V = π r 2 h h = V π r 2 h = \frac{V}{\pi r^2} h = π r 2 V
表面积 S = 2 π r 2 + 2 π r h = 2 π r 2 + 2 V r S = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r} S = 2 π r 2 + 2 π r h = 2 π r 2 + r 2 V
S ′ ( r ) = 4 π r − 2 V r 2 S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} S ′ ( r ) = 4 π r − r 2 2 V 令 S ′ ( r ) = 0 S'(r) = 0 S ′ ( r ) = 0 4 π r 3 = 2 V 4\pi r^3 = 2V 4 π r 3 = 2 V
解得 r = V 2 π 3 r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} r = 3 2 π V
2. 电路设计
例子 ：某电路的功率函数为 P ( R ) = V 2 R ( R + r ) 2 P(R) = \frac{V^2R}{(R + r)^2} P ( R ) = ( R + r ) 2 V 2 R
解 ：
P ′ ( R ) = V 2 [ ( R + r ) 2 − 2 R ( R + r ) ] ( R + r ) 4 = V 2 ( r 2 − R 2 ) ( R + r ) 4 P'(R) = \frac{V^2[(R + r)^2 - 2R(R + r)]}{(R + r)^4} = \frac{V^2(r^2 - R^2)}{(R + r)^4} P ′ ( R ) = ( R + r ) 4 V 2 [( R + r ) 2 − 2 R ( R + r )] = ( R + r ) 4 V 2 ( r 2 − R 2 ) 令 P ′ ( R ) = 0 P'(R) = 0 P ′ ( R ) = 0 R = r R = r R = r
功率最大的电阻值为 R = r R = r R = r
统计学应用
1. 最大似然估计
例子 ：设随机变量 X X X N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N ( μ , σ 2 ) μ \mu μ
解 ：
似然函数 L ( μ ) = ∏ i = 1 n 1 2 π σ e − ( x i − μ ) 2 2 σ 2 L(\mu) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}} L ( μ ) = ∏ i = 1 n 2 π σ 1 e − 2 σ 2 ( x i − μ ) 2
对数似然函数 ln L ( μ ) = − n 2 ln ( 2 π σ 2 ) − 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 \ln L(\mu) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 ln L ( μ ) = − 2 n ln ( 2 π σ 2 ) − 2 σ 2 1 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2
d d μ ln L ( μ ) = 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) \frac{d}{d\mu}\ln L(\mu) = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu) d μ d ln L ( μ ) = σ 2 1 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 令 d d μ ln L ( μ ) = 0 \frac{d}{d\mu}\ln L(\mu) = 0 d μ d ln L ( μ ) = 0 μ = 1 n ∑ i = 1 n x i \mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i μ = n 1 ∑ i = 1 n x i
2. 回归分析
例子 ：求线性回归 y = a x + b y = ax + b y = a x + b a a a b b b
解 ：
残差平方和 S = ∑ i = 1 n ( y i − a x i − b ) 2 S = \sum_{i=1}^n (y_i - ax_i - b)^2 S = ∑ i = 1 n ( y i − a x i − b ) 2
∂ S ∂ a = − 2 ∑ i = 1 n x i ( y i − a x i − b ) \frac{\partial S}{\partial a} = -2\sum_{i=1}^n x_i(y_i - ax_i - b) ∂ a ∂ S = − 2 ∑ i = 1 n x i ( y i − a x i − b ) ∂ S ∂ b = − 2 ∑ i = 1 n ( y i − a x i − b ) \frac{\partial S}{\partial b} = -2\sum_{i=1}^n (y_i - ax_i - b) ∂ b ∂ S = − 2 ∑ i = 1 n ( y i − a x i − b ) 令偏导数为零，解得：
a = n ∑ x i y i − ∑ x i ∑ y i n ∑ x i 2 − ( ∑ x i ) 2 a = \frac{n\sum x_iy_i - \sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} a = n ∑ x i 2 − ( ∑ x i ) 2 n ∑ x i y i − ∑ x i ∑ y i b = ∑ y i − a ∑ x i n b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n} b = n ∑ y i − a ∑ x i
常见错误和注意事项
1. 物理应用错误
错误 ：混淆位移、速度、加速度的关系
正确 ：速度是位移的导数，加速度是速度的导数
2. 经济应用错误
错误 ：忽略边际概念
正确 ：边际成本是总成本的导数，边际收益是总收益的导数
3. 优化问题错误
错误 ：只求导而不验证极值
正确 ：需要验证二阶导数或边界条件
4. 单位问题
错误 ：忽略物理量的单位
正确 ：确保所有计算中的单位一致
练习题
练习 1
一个物体沿直线运动，位移函数为 s ( t ) = t 3 − 3 t 2 + 2 s(t) = t^3 - 3t^2 + 2 s ( t ) = t 3 − 3 t 2 + 2
参考答案
解题思路 ：
求位移函数的导数，令速度为零。
详细步骤 ：
速度 v ( t ) = s ′ ( t ) = 3 t 2 − 6 t = 3 t ( t − 2 ) v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t = 3t(t-2) v ( t ) = s ′ ( t ) = 3 t 2 − 6 t = 3 t ( t − 2 )
令 v ( t ) = 0 v(t) = 0 v ( t ) = 0 t = 0 , 2 t = 0, 2 t = 0 , 2
速度为零的时刻为 t = 0 t = 0 t = 0 t = 2 t = 2 t = 2
答案 ：速度为零的时刻为 t = 0 t = 0 t = 0 t = 2 t = 2 t = 2
练习 2
某产品的成本函数为 C ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x + 10 C(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 10 C ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x + 10
参考答案
解题思路 ：
求平均成本函数，求导找极值。
详细步骤 ：
平均成本 A C ( x ) = C ( x ) x = x 2 − 3 x + 2 + 10 x AC(x) = \frac{C(x)}{x} = x^2 - 3x + 2 + \frac{10}{x} A C ( x ) = x C ( x ) = x 2 − 3 x + 2 + x 10
A C ′ ( x ) = 2 x − 3 − 10 x 2 AC'(x) = 2x - 3 - \frac{10}{x^2} A C ′ ( x ) = 2 x − 3 − x 2 10 令 A C ′ ( x ) = 0 AC'(x) = 0 A C ′ ( x ) = 0 2 x 3 − 3 x 2 − 10 = 0 2x^3 - 3x^2 - 10 = 0 2 x 3 − 3 x 2 − 10 = 0
通过数值方法求解，得到 x ≈ 2.5 x \approx 2.5 x ≈ 2.5
答案 ：平均成本最小的产量约为 x = 2.5 x = 2.5 x = 2.5
练习 3
某产品的需求函数为 p = 100 − 2 x p = 100 - 2x p = 100 − 2 x
参考答案
解题思路 ：
求收益函数，求导找极值。
详细步骤 ：
收益函数 R ( x ) = p x = ( 100 − 2 x ) x = 100 x − 2 x 2 R(x) = px = (100 - 2x)x = 100x - 2x^2 R ( x ) = p x = ( 100 − 2 x ) x = 100 x − 2 x 2
R ′ ( x ) = 100 − 4 x R'(x) = 100 - 4x R ′ ( x ) = 100 − 4 x 令 R ′ ( x ) = 0 R'(x) = 0 R ′ ( x ) = 0 x = 25 x = 25 x = 25
收益最大的产量为 x = 25 x = 25 x = 25
答案 ：收益最大的产量为 x = 25 x = 25 x = 25
总结
本文出现的符号
符号 类型 读音/说明 在本文中的含义 μ \mu μ 希腊字母 Mu（缪） 表示均值 σ \sigma σ 希腊字母 Sigma（西格玛） 表示标准差
中英对照
中文术语 英文术语 音标 说明 位移 displacement /dɪsˈpleɪsmənt/ 物体位置的变化 速度 velocity /vəˈlɒsəti/ 位移对时间的导数 加速度 acceleration /əkseləˈreɪʃən/ 速度对时间的导数 势能 potential energy /pəˈtenʃəl ˈenədʒi/ 物体由于位置而具有的能量 平衡位置 equilibrium position /iːkwɪˈlɪbriəm pəˈzɪʃən/ 力为零的位置 成本函数 cost function /kɒst ˈfʌŋkʃən/ 描述成本与产量关系的函数 收益函数 revenue function /ˈrevənjuː ˈfʌŋkʃən/ 描述收益与产量关系的函数 边际成本 marginal cost /ˈmɑːdʒɪnəl kɒst/ 增加一单位产量所需的额外成本 边际收益 marginal revenue /ˈmɑːdʒɪnəl ˈrevənjuː/ 增加一单位产量所获得的额外收益 最大似然估计 maximum likelihood estimation /ˈmæksɪməm ˈlaɪklɪhʊd estɪˈmeɪʃən/ 通过最大化似然函数来估计参数的方法 均值 mean /miːn/ 随机变量的期望值 标准差 standard deviation /ˈstændəd diːviˈeɪʃən/ 随机变量离散程度的度量
1 Exploring Functions in Advanced Mathematics
先修课程
Functions are a core idea of advanced mathematics. This course walks through foundational concepts, key properties, and classic constants so you can read, reason, and compute with confidence.
前往课程
2 The World of Limits in Advanced Mathematics
先修课程
Limits are the foundation of calculus and one of the most important ideas in advanced mathematics.
前往课程
3 Continuity in Advanced Calculus
先修课程
A focused guide on continuity: core definitions, types of discontinuities, and continuity of elementary functions.
前往课程
4 Differential Calculus of One Variable
当前课程
A complete study path for derivatives, linear approximations, extrema, and classic theorems that power single-variable calculus.
前往课程
