反函数求导

解题思路： 使用反函数求导公式和链式法则。

详细步骤：

1. 设 $y = \arcsin(x^2)$，则 $x^2 = \sin y$
2. 两边对 $x$ 求导：$2x = \cos y \cdot y'$
3. 解出 $y'$：$y' = \frac{2x}{\cos y} = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$

答案：$f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$

解题思路： 这是一个复合函数，包含反三角函数和对数函数。

详细步骤：

1. 外层：$f(u) = \arctan u$，$f'(u) = \frac{1}{1 + u^2}$
2. 内层：$g(x) = \ln x$，$g'(x) = \frac{1}{x}$
3. 复合函数导数：$f'(x) = \frac{1}{1 + (\ln x)^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x(1 + (\ln x)^2)}$

答案：$f'(x) = \frac{1}{x(1 + (\ln x)^2)}$

解题思路： 这是一个复合函数，包含反三角函数和幂函数。

详细步骤：

1. 外层：$f(u) = \arccos u$，$f'(u) = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$
2. 内层：$g(x) = \sqrt{1 - x^2}$，$g'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$
3. 复合函数导数：$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^2)}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{x}{|x|\sqrt{1 - x^2}}$

答案：$f'(x) = \frac{x}{|x|\sqrt{1 - x^2}}$

解题思路： 这是一个复合函数，包含反双曲函数和指数函数。

详细步骤：

1. 外层：$f(u) = \sinh^{-1} u$，$f'(u) = \frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}$
2. 内层：$g(x) = e^x$，$g'(x) = e^x$
3. 复合函数导数：$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2x}}} \cdot e^x = \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}}$

答案：$f'(x) = \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}}$

解题思路： 这是一个复合函数，包含对数函数和反三角函数。

详细步骤：

1. 外层：$f(u) = \ln u$，$f'(u) = \frac{1}{u}$
2. 内层：$g(x) = \arccos x$，$g'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
3. 复合函数导数：$f'(x) = \frac{1}{\arccos x} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}) = -\frac{1}{\arccos x \cdot \sqrt{1 - x^2}}$

答案：$f'(x) = -\frac{1}{\arccos x \cdot \sqrt{1 - x^2}}$

解题思路： 利用等价无穷小的性质和反函数求导的思想。

详细步骤：

1. 由 $\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x}=1$，可得 $f(x)\sim \ln x$ 当 $x\to1$

2. 当 $x\to1$ 时，$\ln x\to0$，所以 $\lim\limits_{x\to1} f(x)=0$

3. 设 $g(x)=\frac{f(x)}{\ln x}$，则 $f(x)=g(x)\ln x$

4. 应用乘积法则： $f'(x)=g'(x)\ln x + g(x)\cdot\frac{1}{x}$

5. 当 $x\to1$ 时，$\ln x\to0$，$\frac{1}{x}\to1$，$g(x)\to1$

6. 因此 $f'(1)=\lim\limits_{x\to1} f'(x)=1$

答案：$f'(1)=1$

解题思路： 使用参数方程求导公式，涉及反函数求导的思想。

详细步骤：

1. 当 $t\geq0$ 时，$x=3t, y=t\sin t$，所以 $y=\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}$

2. 当 $t<0$ 时，$x=t, y=-t\sin t$，所以 $y=-x\sin x$

3. 因此 $f(x)=\begin{cases}\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}, & x\geq0\\-x\sin x, & x<0\end{cases}$

4. 计算左导数： $f'_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-x\sin x-0}{x}=-\lim\limits_{x\to0^-}\sin x=0$

5. 计算右导数： $f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}-0}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\sin\frac{x}{3}}{3}=0$

6. 由于左导数和右导数相等，所以 $f'(0)=0$

答案：$f'(0)=0$

解题思路： 使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。

详细步骤：

1. 根据积分上限函数求导公式： $f'(x)=e^{\cos x}$

2. 对 $f'(x)$ 再次求导，使用复合函数求导： 设 $u=\cos x$，则 $f'(x)=e^u$

   $\frac{d}{dx}(e^u)=e^u\cdot\frac{du}{dx}=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)=-e^{\cos x}\sin x$

答案： $f'(x)=e^{\cos x}$ $f''(x)=-e^{\cos x}\sin x$

解题思路： 使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。

详细步骤：

1. 根据积分上限函数求导公式： $f'(x) = e^{x^2} \sin x$

2. 对 $f'(x)$ 再次求导，使用乘积法则和复合函数求导： 设 $u = e^{x^2}$，$v = \sin x$

   $u' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$（复合函数求导） $v' = \cos x$

3. 应用乘积法则： $f''(x) = u'v + uv' = 2x e^{x^2} \cdot \sin x + e^{x^2} \cdot \cos x$ $= 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$

答案： $f'(x) = e^{x^2} \sin x$ $f''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$

解题思路： 使用一阶线性微分方程的求解方法。

详细步骤：

1. 这是一个一阶线性微分方程：$y'+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}$

2. 积分因子：$\mu(x)=e^{\int\frac{1}{2\sqrt{x}}dx}=e^{\sqrt{x}}$

3. 方程两边乘以积分因子： $e^{\sqrt{x}}y'+e^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}y=(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}$

4. 左边可以写成：$(e^{\sqrt{x}}y)'=(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}$

5. 积分得：$e^{\sqrt{x}}y=\int(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dx$

6. 计算积分：$\int(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dx=2\int e^{\sqrt{x}}dx+\int\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}dx$

7. 设 $u=\sqrt{x}$，则 $dx=2udu$，积分变为： $2\int e^u\cdot2udu+\int ue^u\cdot2udu=4\int ue^udu+2\int u^2e^udu$

8. 使用分部积分法求解，最终得到： $y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2x e^{\sqrt{x}}+C\right)$

9. 由 $y(1)=3$，得 $C=e$，所以： $y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2x e^{\sqrt{x}}+e\right)$

答案：$y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2x e^{\sqrt{x}}+e\right)$