反函数求导
反函数求导是微积分中的重要概念,它帮助我们计算反函数的导数。
反函数求导公式
如果 y=f−1(x) 是 x=f(y) 的反函数,且 f′(y)=0,则
(f−1)′(x)=f′(f−1(x))1
反函数求导的证明
证明思路:
- 设 y=f−1(x),则 x=f(y)
- 两边对 x 求导:1=f′(y)⋅y′
- 解出 y′:y′=f′(y)1=f′(f−1(x))1
常见反函数的导数
反三角函数
(arcsinx)′=1−x21(∣x∣<1)
(arccosx)′=−1−x21(∣x∣<1)
(arctanx)′=1+x21
(\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1 + x^2}
反双曲函数
(sinh−1x)′=1+x21
(cosh−1x)′=x2−11(x>1)
(tanh−1x)′=1−x21(∣x∣<1)
反函数求导的应用
复合反函数求导
当反函数与其他函数复合时,需要使用链式法则。
例子:求 f(x)=arcsin(x2) 的导数
解:
- 设 y=arcsin(x2),则 x2=siny
- 两边对 x 求导:2x=cosy⋅y′
- 解出 y′:y′=cosy2x=1−x42x
反函数求导的几何意义
反函数求导公式的几何意义是:反函数的导数等于原函数导数的倒数。
常见错误和注意事项
1. 忽略定义域
错误:(arcsinx)′=1−x21 对所有 x 成立
正确:(arcsinx)′=1−x21 只在 ∣x∣<1 时成立
2. 复合函数求导错误
错误:(arcsin(x2))′=1−x21⋅2x
正确:(arcsin(x2))′=1−x41⋅2x
3. 符号错误
错误:(arccosx)′=1−x21
正确:(arccosx)′=−1−x21
练习题
练习 1
求函数 f(x)=arcsin(x2) 的导数。
参考答案
解题思路:
使用反函数求导公式和链式法则。
详细步骤:
- 设 y=arcsin(x2),则 x2=siny
- 两边对 x 求导:2x=cosy⋅y′
- 解出 y′:y′=cosy2x=1−x42x
答案:f′(x)=1−x42x
练习 2
求函数 f(x)=arctan(lnx) 的导数。
参考答案
解题思路:
这是一个复合函数,包含反三角函数和对数函数。
详细步骤:
- 外层:f(u)=arctanu,f′(u)=1+u21
- 内层:g(x)=lnx,g′(x)=x1
- 复合函数导数:f′(x)=1+(lnx)21⋅x1=x(1+(lnx)2)1
答案:f′(x)=x(1+(lnx)2)1
练习 3
求函数 f(x)=arccos(1−x2) 的导数。
参考答案
解题思路:
这是一个复合函数,包含反三角函数和幂函数。
详细步骤:
- 外层:f(u)=arccosu,f′(u)=−1−u21
- 内层:g(x)=1−x2,g′(x)=1−x2−x
- 复合函数导数:f′(x)=−1−(1−x2)1⋅1−x2−x=∣x∣1−x2x
答案:f′(x)=∣x∣1−x2x
练习 4
求函数 f(x)=sinh−1(ex) 的导数。
参考答案
解题思路:
这是一个复合函数,包含反双曲函数和指数函数。
详细步骤:
- 外层:f(u)=sinh−1u,f′(u)=1+u21
- 内层:g(x)=ex,g′(x)=ex
- 复合函数导数:f′(x)=1+e2x1⋅ex=1+e2xex
答案:f′(x)=1+e2xex
练习 5
求函数 f(x)=ln(arccosx) 的导数。
参考答案
解题思路:
这是一个复合函数,包含对数函数和反三角函数。
详细步骤:
- 外层:f(u)=lnu,f′(u)=u1
- 内层:g(x)=arccosx,g′(x)=−1−x21
- 复合函数导数:f′(x)=arccosx1⋅(−1−x21)=−arccosx⋅1−x21
答案:f′(x)=−arccosx⋅1−x21
练习 6
改编自2022考研数学一第1题
设 x→1limlnxf(x)=1,求 f′(1) 的值。
参考答案
解题思路:
利用等价无穷小的性质和反函数求导的思想。
详细步骤:
-
由 x→1limlnxf(x)=1,可得 f(x)∼lnx 当 x→1
-
当 x→1 时,lnx→0,所以 x→1limf(x)=0
-
设 g(x)=lnxf(x),则 f(x)=g(x)lnx
-
应用乘积法则:
f′(x)=g′(x)lnx+g(x)⋅x1
-
当 x→1 时,lnx→0,x1→1,g(x)→1
-
因此 f′(1)=x→1limf′(x)=1
答案:f′(1)=1
练习 7
改编自2023考研数学一第3题
设函数 y=f(x) 由参数方程 {x=2t+∣t∣y=∣t∣sint 确定,求 f′(0)。
参考答案
解题思路:
使用参数方程求导公式,涉及反函数求导的思想。
详细步骤:
-
当 t≥0 时,x=3t,y=tsint,所以 y=3xsin3x
-
当 t<0 时,x=t,y=−tsint,所以 y=−xsinx
-
因此 f(x)={3xsin3x,−xsinx,x≥0x<0
-
计算左导数:
f−′(0)=x→0−limx−xsinx−0=−x→0−limsinx=0
-
计算右导数:
f+′(0)=x→0+limx3xsin3x−0=x→0+lim3sin3x=0
-
由于左导数和右导数相等,所以 f′(0)=0
答案:f′(0)=0
练习 8
改编自2024考研数学一第1题
已知函数 f(x)=∫0xecostdt,求 f′(x) 和 f′′(x)。
参考答案
解题思路:
使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。
详细步骤:
-
根据积分上限函数求导公式:
f′(x)=ecosx
-
对 f′(x) 再次求导,使用复合函数求导:
设 u=cosx,则 f′(x)=eu
dxd(eu)=eu⋅dxdu=ecosx⋅(−sinx)=−ecosxsinx
答案:
f′(x)=ecosx
f′′(x)=−ecosxsinx
练习 9
改编自2025考研数学一第1题
已知函数 f(x)=∫0xet2sintdt,求 f′(x) 和 f′′(x)。
参考答案
解题思路:
使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。
详细步骤:
-
根据积分上限函数求导公式:
f′(x)=ex2sinx
-
对 f′(x) 再次求导,使用乘积法则和复合函数求导:
设 u=ex2,v=sinx
u′=ex2⋅2x=2xex2(复合函数求导)
v′=cosx
-
应用乘积法则:
f′′(x)=u′v+uv′=2xex2⋅sinx+ex2⋅cosx
=2xex2sinx+ex2cosx
答案:
f′(x)=ex2sinx
f′′(x)=2xex2sinx+ex2cosx
练习 10
改编自2022考研数学一第17题
设 y=y(x) 满足 y′+2x1y=2+x,y(1)=3,求 y(x) 的表达式。
参考答案
解题思路:
使用一阶线性微分方程的求解方法。
详细步骤:
-
这是一个一阶线性微分方程:y′+2x1y=2+x
-
积分因子:μ(x)=e∫2x1dx=ex
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方程两边乘以积分因子:
exy′+ex2x1y=(2+x)ex
-
左边可以写成:(exy)′=(2+x)ex
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积分得:exy=∫(2+x)exdx
-
计算积分:∫(2+x)exdx=2∫exdx+∫xexdx
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设 u=x,则 dx=2udu,积分变为:
2∫eu⋅2udu+∫ueu⋅2udu=4∫ueudu+2∫u2eudu
-
使用分部积分法求解,最终得到:
y(x)=e−x(2xex+C)
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由 y(1)=3,得 C=e,所以:
y(x)=e−x(2xex+e)
答案:y(x)=e−x(2xex+e)