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反函数求导

反函数求导是微积分中的重要概念,它帮助我们计算反函数的导数。

反函数求导公式

反函数求导公式

如果 y=f1(x)y = f^{-1}(x)x=f(y)x = f(y) 的反函数,且 f(y)0f'(y) \neq 0,则

(f1)(x)=1f(f1(x))(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

反函数求导的证明

证明思路

  1. y=f1(x)y = f^{-1}(x),则 x=f(y)x = f(y)
  2. 两边对 xx 求导:1=f(y)y1 = f'(y) \cdot y'
  3. 解出 yy'y=1f(y)=1f(f1(x))y' = \frac{1}{f'(y)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

常见反函数的导数

反三角函数

反三角函数的导数

(arcsinx)=11x2(x<1)(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (|x| < 1)

(arccosx)=11x2(x<1)(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (|x| < 1)

(arctanx)=11+x2(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}

(\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1 + x^2}

反双曲函数

反双曲函数的导数

(sinh1x)=11+x2(\sinh^{-1} x)' = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}

(cosh1x)=1x21(x>1)(\cosh^{-1} x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \quad (x > 1)

(tanh1x)=11x2(x<1)(\tanh^{-1} x)' = \frac{1}{1 - x^2} \quad (|x| < 1)

反函数求导的应用

复合反函数求导

当反函数与其他函数复合时,需要使用链式法则。

例子:求 f(x)=arcsin(x2)f(x) = \arcsin(x^2) 的导数

  1. y=arcsin(x2)y = \arcsin(x^2),则 x2=sinyx^2 = \sin y
  2. 两边对 xx 求导:2x=cosyy2x = \cos y \cdot y'
  3. 解出 yy'y=2xcosy=2x1x4y' = \frac{2x}{\cos y} = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}

反函数求导的几何意义

反函数求导公式的几何意义是:反函数的导数等于原函数导数的倒数。

常见错误和注意事项

1. 忽略定义域

错误(arcsinx)=11x2(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} 对所有 xx 成立 正确(arcsinx)=11x2(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} 只在 x<1|x| < 1 时成立

2. 复合函数求导错误

错误(arcsin(x2))=11x22x(\arcsin(x^2))' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot 2x 正确(arcsin(x2))=11x42x(\arcsin(x^2))' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^4}} \cdot 2x

3. 符号错误

错误(arccosx)=11x2(\arccos x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} 正确(arccosx)=11x2(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

练习题

练习 1

求函数 f(x)=arcsin(x2)f(x) = \arcsin(x^2) 的导数。

参考答案

解题思路: 使用反函数求导公式和链式法则。

详细步骤

  1. y=arcsin(x2)y = \arcsin(x^2),则 x2=sinyx^2 = \sin y
  2. 两边对 xx 求导:2x=cosyy2x = \cos y \cdot y'
  3. 解出 yy'y=2xcosy=2x1x4y' = \frac{2x}{\cos y} = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}

答案f(x)=2x1x4f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}

练习 2

求函数 f(x)=arctan(lnx)f(x) = \arctan(\ln x) 的导数。

参考答案

解题思路: 这是一个复合函数,包含反三角函数和对数函数。

详细步骤

  1. 外层:f(u)=arctanuf(u) = \arctan uf(u)=11+u2f'(u) = \frac{1}{1 + u^2}
  2. 内层:g(x)=lnxg(x) = \ln xg(x)=1xg'(x) = \frac{1}{x}
  3. 复合函数导数:f(x)=11+(lnx)21x=1x(1+(lnx)2)f'(x) = \frac{1}{1 + (\ln x)^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x(1 + (\ln x)^2)}

答案f(x)=1x(1+(lnx)2)f'(x) = \frac{1}{x(1 + (\ln x)^2)}

练习 3

求函数 f(x)=arccos(1x2)f(x) = \arccos(\sqrt{1 - x^2}) 的导数。

参考答案

解题思路: 这是一个复合函数,包含反三角函数和幂函数。

详细步骤

  1. 外层:f(u)=arccosuf(u) = \arccos uf(u)=11u2f'(u) = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}
  2. 内层:g(x)=1x2g(x) = \sqrt{1 - x^2}g(x)=x1x2g'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}
  3. 复合函数导数:f(x)=11(1x2)x1x2=xx1x2f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^2)}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{x}{|x|\sqrt{1 - x^2}}

答案f(x)=xx1x2f'(x) = \frac{x}{|x|\sqrt{1 - x^2}}

练习 4

求函数 f(x)=sinh1(ex)f(x) = \sinh^{-1}(e^x) 的导数。

参考答案

解题思路: 这是一个复合函数,包含反双曲函数和指数函数。

详细步骤

  1. 外层:f(u)=sinh1uf(u) = \sinh^{-1} uf(u)=11+u2f'(u) = \frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}
  2. 内层:g(x)=exg(x) = e^xg(x)=exg'(x) = e^x
  3. 复合函数导数:f(x)=11+e2xex=ex1+e2xf'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2x}}} \cdot e^x = \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}}

答案f(x)=ex1+e2xf'(x) = \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}}

练习 5

求函数 f(x)=ln(arccosx)f(x) = \ln(\arccos x) 的导数。

参考答案

解题思路: 这是一个复合函数,包含对数函数和反三角函数。

详细步骤

  1. 外层:f(u)=lnuf(u) = \ln uf(u)=1uf'(u) = \frac{1}{u}
  2. 内层:g(x)=arccosxg(x) = \arccos xg(x)=11x2g'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
  3. 复合函数导数:f(x)=1arccosx(11x2)=1arccosx1x2f'(x) = \frac{1}{\arccos x} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}) = -\frac{1}{\arccos x \cdot \sqrt{1 - x^2}}

答案f(x)=1arccosx1x2f'(x) = -\frac{1}{\arccos x \cdot \sqrt{1 - x^2}}

练习 6

改编自2022考研数学一第1题

limx1f(x)lnx=1\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x}=1,求 f(1)f'(1) 的值。

参考答案

解题思路: 利用等价无穷小的性质和反函数求导的思想。

详细步骤

  1. limx1f(x)lnx=1\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x}=1,可得 f(x)lnxf(x)\sim \ln xx1x\to1

  2. x1x\to1 时,lnx0\ln x\to0,所以 limx1f(x)=0\lim\limits_{x\to1} f(x)=0

  3. g(x)=f(x)lnxg(x)=\frac{f(x)}{\ln x},则 f(x)=g(x)lnxf(x)=g(x)\ln x

  4. 应用乘积法则: f(x)=g(x)lnx+g(x)1xf'(x)=g'(x)\ln x + g(x)\cdot\frac{1}{x}

  5. x1x\to1 时,lnx0\ln x\to01x1\frac{1}{x}\to1g(x)1g(x)\to1

  6. 因此 f(1)=limx1f(x)=1f'(1)=\lim\limits_{x\to1} f'(x)=1

答案f(1)=1f'(1)=1

练习 7

改编自2023考研数学一第3题

设函数 y=f(x)y=f(x) 由参数方程 {x=2t+ty=tsint\begin{cases}x=2t+|t|\\y=|t|\sin t\end{cases} 确定,求 f(0)f'(0)

参考答案

解题思路: 使用参数方程求导公式,涉及反函数求导的思想。

详细步骤

  1. t0t\geq0 时,x=3t,y=tsintx=3t, y=t\sin t,所以 y=x3sinx3y=\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}

  2. t<0t<0 时,x=t,y=tsintx=t, y=-t\sin t,所以 y=xsinxy=-x\sin x

  3. 因此 f(x)={x3sinx3,x0xsinx,x<0f(x)=\begin{cases}\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}, & x\geq0\\-x\sin x, & x<0\end{cases}

  4. 计算左导数: f(0)=limx0xsinx0x=limx0sinx=0f'_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-x\sin x-0}{x}=-\lim\limits_{x\to0^-}\sin x=0

  5. 计算右导数: f+(0)=limx0+x3sinx30x=limx0+sinx33=0f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}-0}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\sin\frac{x}{3}}{3}=0

  6. 由于左导数和右导数相等,所以 f(0)=0f'(0)=0

答案f(0)=0f'(0)=0

练习 8

改编自2024考研数学一第1题

已知函数 f(x)=0xecostdtf(x)=\int_0^x e^{\cos t}dt,求 f(x)f'(x)f(x)f''(x)

参考答案

解题思路: 使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。

详细步骤

  1. 根据积分上限函数求导公式: f(x)=ecosxf'(x)=e^{\cos x}

  2. f(x)f'(x) 再次求导,使用复合函数求导: 设 u=cosxu=\cos x,则 f(x)=euf'(x)=e^u

    ddx(eu)=eududx=ecosx(sinx)=ecosxsinx\frac{d}{dx}(e^u)=e^u\cdot\frac{du}{dx}=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)=-e^{\cos x}\sin x

答案f(x)=ecosxf'(x)=e^{\cos x} f(x)=ecosxsinxf''(x)=-e^{\cos x}\sin x

练习 9

改编自2025考研数学一第1题

已知函数 f(x)=0xet2sintdtf(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt,求 f(x)f'(x)f(x)f''(x)

参考答案

解题思路: 使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。

详细步骤

  1. 根据积分上限函数求导公式: f(x)=ex2sinxf'(x) = e^{x^2} \sin x

  2. f(x)f'(x) 再次求导,使用乘积法则和复合函数求导: 设 u=ex2u = e^{x^2}v=sinxv = \sin x

    u=ex22x=2xex2u' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}(复合函数求导) v=cosxv' = \cos x

  3. 应用乘积法则: f(x)=uv+uv=2xex2sinx+ex2cosxf''(x) = u'v + uv' = 2x e^{x^2} \cdot \sin x + e^{x^2} \cdot \cos x =2xex2sinx+ex2cosx= 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x

答案f(x)=ex2sinxf'(x) = e^{x^2} \sin x f(x)=2xex2sinx+ex2cosxf''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x

练习 10

改编自2022考研数学一第17题

y=y(x)y=y(x) 满足 y+12xy=2+xy'+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}y(1)=3y(1)=3,求 y(x)y(x) 的表达式。

参考答案

解题思路: 使用一阶线性微分方程的求解方法。

详细步骤

  1. 这是一个一阶线性微分方程:y+12xy=2+xy'+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}

  2. 积分因子:μ(x)=e12xdx=ex\mu(x)=e^{\int\frac{1}{2\sqrt{x}}dx}=e^{\sqrt{x}}

  3. 方程两边乘以积分因子: exy+ex12xy=(2+x)exe^{\sqrt{x}}y'+e^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}y=(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}

  4. 左边可以写成:(exy)=(2+x)ex(e^{\sqrt{x}}y)'=(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}

  5. 积分得:exy=(2+x)exdxe^{\sqrt{x}}y=\int(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dx

  6. 计算积分:(2+x)exdx=2exdx+xexdx\int(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dx=2\int e^{\sqrt{x}}dx+\int\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}dx

  7. u=xu=\sqrt{x},则 dx=2ududx=2udu,积分变为: 2eu2udu+ueu2udu=4ueudu+2u2eudu2\int e^u\cdot2udu+\int ue^u\cdot2udu=4\int ue^udu+2\int u^2e^udu

  8. 使用分部积分法求解,最终得到: y(x)=ex(2xex+C)y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2x e^{\sqrt{x}}+C\right)

  9. y(1)=3y(1)=3,得 C=eC=e,所以: y(x)=ex(2xex+e)y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2x e^{\sqrt{x}}+e\right)

答案y(x)=ex(2xex+e)y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2x e^{\sqrt{x}}+e\right)

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