洛必达法则

洛必达法则是求极限的重要工具，它利用导数来求某些特殊形式的极限，特别是 $\frac{0}{0}$ 型和 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的极限。

基本定理

定理 1

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $a$ 的某去心邻域内有定义，且满足：

1. $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ 或 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty$
2. $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $a$ 的某去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$
3. $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在或为 $\pm\infty$

则

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

适用情况

1. $\frac{0}{0}$ 型

特点：分子分母都趋于零

例子：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

解：

• 分子分母都趋于零，满足 $\frac{0}{0}$ 型
• $(\sin x)' = \cos x$，$(x)' = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$

2. $\frac{\infty}{\infty}$ 型

特点：分子分母都趋于无穷

例子：$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}$

解：

• 分子分母都趋于无穷，满足 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
• $(x^2)' = 2x$，$(e^x)' = e^x$
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x}$
• 再次应用洛必达法则：$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$

3. $0 \cdot \infty$ 型

特点：一个因子趋于零，另一个趋于无穷

方法：转化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型

例子：$\lim_{x \to 0^+} x \ln x$

解：

• 转化为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型：$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$
• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$，$(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$
• $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$

4. $\infty - \infty$ 型

特点：两个无穷大相减

方法：通分或提取公因子

例子：$\lim_{x \to 1} (\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x-1})$

解：

• 通分：$\lim_{x \to 1} \frac{x-1-\ln x}{(x-1)\ln x}$
• 分子分母都趋于零，应用洛必达法则
• $\lim_{x \to 1} \frac{1-\frac{1}{x}}{\ln x + (x-1)\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x\ln x + x-1} = \frac{0}{0}$
• 再次应用洛必达法则：$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\ln x + 1 + 1} = \frac{1}{2}$

5. $0^0$、$\infty^0$、$1^\infty$ 型

特点：幂指函数的不定式

方法：取对数转化为其他类型

例子：$\lim_{x \to 0^+} x^x$

解：

• 设 $y = x^x$，则 $\ln y = x \ln x$
• $\lim_{x \to 0^+} \ln y = \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$（前面已求）
• 所以 $\lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1$

应用技巧

1. 多次应用洛必达法则

注意：每次应用前都要检查条件

例子：$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

解：

• 第一次：$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \frac{0}{0}$
• 第二次：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{0}{0}$
• 第三次：$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$

2. 结合其他方法

例子：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$

解：

• 使用泰勒展开：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = -\frac{1}{6}$

3. 变量替换

例子：$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$

解：

• 设 $t = \ln x$，则 $x = e^t$
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{t \to +\infty} \frac{t}{e^t} = 0$

常见错误和注意事项

1. 条件检查错误

错误：不检查条件就应用洛必达法则 正确：必须验证所有条件都满足

例子：$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{0}{1} = 0$（不需要洛必达法则）

2. 循环应用错误

错误：无限次应用洛必达法则 正确：如果多次应用后极限仍不存在，应考虑其他方法

3. 导数计算错误

错误：导数计算错误 正确：仔细计算导数，注意符号和运算顺序

4. 类型判断错误

错误：错误判断极限类型 正确：准确判断极限类型，选择合适的处理方法

洛必达法则的局限性

1. 不适用的情况

• 极限不是不定式
• 导数不存在
• 导数极限不存在

2. 失效的情况

• 多次应用后极限仍不存在
• 出现循环

3. 其他方法的选择

• 泰勒展开
• 等价无穷小替换
• 变量替换
• 夹逼准则

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练习题

练习 1

利用洛必达法则计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

参考答案

解题思路： 检查条件并应用洛必达法则。

详细步骤：

1. 检查条件：$\lim_{x \to 0} \sin x = 0$，$\lim_{x \to 0} x = 0$
2. 满足 $\frac{0}{0}$ 型
3. $(\sin x)' = \cos x$，$(x)' = 1$
4. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$

答案：极限值为 $1$。

练习 2

计算极限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}$。

参考答案

解题思路： 多次应用洛必达法则。

详细步骤：

1. 满足 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
2. 第一次应用：$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x}$
3. 第二次应用：$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$

答案：极限值为 $0$。

练习 3

计算极限 $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$。

参考答案

解题思路： 转化为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。

详细步骤：

1. 转化为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型：$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$
2. $(\ln x)' = \frac{1}{x}$，$(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$
3. $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$

答案：极限值为 $0$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\infty$	数学符号	Infinity（无穷大）	表示变量或函数值可以无限增大

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
洛必达法则	L’Hôpital’s rule	/lohpeeˈtɑːlz ruːl/	利用导数求不定式极限的方法
不定式	indeterminate form	/ɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	无法直接确定极限值的形式
零点零型	zero over zero	/ˈzɪərəʊ ˈəʊvə ˈzɪərəʊ/	$\frac{0}{0}$ 型不定式
无穷大无穷大型	infinity over infinity	/ɪnˈfɪnəti ˈəʊvə ɪnˈfɪnəti/	$\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式
零点无穷大型	zero times infinity	/ˈzɪərəʊ taɪmz ɪnˈfɪnəti/	$0 \cdot \infty$ 型不定式
无穷大减无穷大型	infinity minus infinity	/ɪnˈfɪnəti ˈmaɪnəs ɪnˈfɪnəti/	$\infty - \infty$ 型不定式
幂指函数	power-exponential function	/ˈpaʊə ɪkspəˈnenʃəl ˈfʌŋkʃən/	底数和指数都是变量的函数
泰勒展开	Taylor expansion	/ˈteɪlə ɪkˈspænʃən/	用多项式近似函数的方法
等价无穷小	equivalent infinitesimal	/ɪˈkwɪvələnt ɪnfɪnɪˈtesɪməl/	在极限运算中可以替换的无穷小量

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