logo
简体中文

导航菜单

一元函数微分学

高级导数计算技巧

高级导数计算技巧

在掌握了基本导数规则和基本计算方法后，我们需要学习一些高级的计算技巧，以应对更复杂的导数计算问题。

高阶导数

二阶导数

定义：f′′(x)=(f′(x))′f''(x) = (f'(x))'

物理意义：加速度是速度的导数，即位移的二阶导数。

例子：

  • f(x)=x2f(x) = x^2，f′(x)=2xf'(x) = 2x，f′′(x)=2f''(x) = 2
  • f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x，f′(x)=cos⁡xf'(x) = \cos x，f′′(x)=−sin⁡xf''(x) = -\sin x

n 阶导数

定义：f(n)(x)=(f(n−1)(x))′f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))'

常见函数的高阶导数：

  • (xn)(n)=n!(x^n)^{(n)} = n!
  • (ex)(n)=ex(e^x)^{(n)} = e^x
  • (sin⁡x)(n)=sin⁡(x+nπ2)(\sin x)^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})
  • (cos⁡x)(n)=cos⁡(x+nπ2)(\cos x)^{(n)} = \cos(x + \frac{n\pi}{2})

隐函数求导

基本方法

步骤：

  1. 对等式两边同时求导
  2. 将 dydx\frac{dy}{dx} 作为未知数求解
  3. 整理得到 dydx\frac{dy}{dx} 的表达式

例子： 求 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 的导数。

解：

  1. 对两边求导：2x+2ydydx=02x + 2y\frac{dy}{dx} = 0
  2. 整理：2ydydx=−2x2y\frac{dy}{dx} = -2x
  3. 得到：dydx=−xy\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

复杂隐函数

例子： 求 x3+y3=3xyx^3 + y^3 = 3xy 的导数。

解：

  1. 对两边求导：3x2+3y2dydx=3y+3xdydx3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 3y + 3x\frac{dy}{dx}
  2. 整理：3y2dydx−3xdydx=3y−3x23y^2\frac{dy}{dx} - 3x\frac{dy}{dx} = 3y - 3x^2
  3. 提取公因式：(3y2−3x)dydx=3y−3x2(3y^2 - 3x)\frac{dy}{dx} = 3y - 3x^2
  4. 得到：dydx=y−x2y2−x\frac{dy}{dx} = \frac{y - x^2}{y^2 - x}

参数方程求导

基本公式

公式：dydx=dydtdxdt\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}

解释：参数方程的导数等于 y 对参数的导数除以 x 对参数的导数。

例子： 求参数方程 x=t2x = t^2，y=t3y = t^3 的导数。

解：

  • dxdt=2t\frac{dx}{dt} = 2t
  • dydt=3t2\frac{dy}{dt} = 3t^2
  • dydx=3t22t=3t2\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}

高阶导数

二阶导数：d2ydx2=ddx(dydx)=ddt(dydx)⋅dtdx\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx}

例子： 求参数方程 x=cos⁡tx = \cos t，y=sin⁡ty = \sin t 的二阶导数。

解：

  1. 一阶导数：dydx=cos⁡t−sin⁡t=−cot⁡t\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t
  2. 二阶导数：d2ydx2=ddt(−cot⁡t)⋅1−sin⁡t=csc⁡2t⋅1−sin⁡t=−csc⁡3t\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(-\cot t) \cdot \frac{1}{-\sin t} = \csc^2 t \cdot \frac{1}{-\sin t} = -\csc^3 t

对数求导法

适用情况

对数求导法适用于以下情况：

  • 复杂的幂指函数
  • 多个函数相乘或相除
  • 函数中包含指数和对数

基本步骤

  1. 对函数取对数
  2. 对等式两边求导
  3. 解出 dydx\frac{dy}{dx}

例子

例子 1：求 y=xxy = x^x 的导数。

解：

  1. 取对数：ln⁡y=xln⁡x\ln y = x \ln x
  2. 求导：1ydydx=ln⁡x+1\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln x + 1
  3. 解出：dydx=y(ln⁡x+1)=xx(ln⁡x+1)\frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)

例子 2：求 y=(x+1)2(x−2)3(x+3)4y = \frac{(x+1)^2(x-2)^3}{(x+3)^4} 的导数。

解：

  1. 取对数：ln⁡y=2ln⁡(x+1)+3ln⁡(x−2)−4ln⁡(x+3)\ln y = 2\ln(x+1) + 3\ln(x-2) - 4\ln(x+3)
  2. 求导：1ydydx=2x+1+3x−2−4x+3\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-2} - \frac{4}{x+3}
  3. 解出：dydx=y(2x+1+3x−2−4x+3)\frac{dy}{dx} = y\left(\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-2} - \frac{4}{x+3}\right)

分段函数求导

基本方法

方法：

  1. 分别求各段的导数
  2. 在分段点处检查可导性

例子

例子： f(x)={x2,x≥0−x2,x<0f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}

解：

  • 当 x>0x > 0 时：f′(x)=2xf'(x) = 2x
  • 当 x<0x < 0 时：f′(x)=−2xf'(x) = -2x
  • 在 x=0x = 0 处：f′(0)=0f'(0) = 0

高级计算技巧

1. 化简技巧

技巧：在求导前先化简函数

例子：

  • 原函数：f(x)=x2−1x−1f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}
  • 化简：f(x)=x+1f(x) = x + 1（当 x≠1x \neq 1 时）
  • 求导：f′(x)=1f'(x) = 1

2. 对称性利用

技巧：利用函数的对称性简化计算

例子： 对于偶函数 f(x)=f(−x)f(x) = f(-x)：

  • f′(x)=−f′(−x)f'(x) = -f'(-x)
  • 在 x=0x = 0 处，f′(0)=0f'(0) = 0

对于奇函数 f(x)=−f(−x)f(x) = -f(-x)：

  • f′(x)=f′(−x)f'(x) = f'(-x)
  • 导函数是偶函数

3. 复合函数分解

技巧：将复杂函数分解为简单函数的复合

例子： f(x)=sin⁡(ex2)f(x) = \sin(e^{x^2})

分解：

  • u=x2u = x^2
  • v=euv = e^u
  • w=sin⁡vw = \sin v
  • f(x)=wf(x) = w

求导：

  • dwdv=cos⁡v=cos⁡(ex2)\frac{dw}{dv} = \cos v = \cos(e^{x^2})
  • dvdu=eu=ex2\frac{dv}{du} = e^u = e^{x^2}
  • dudx=2x\frac{du}{dx} = 2x
  • f′(x)=cos⁡(ex2)⋅ex2⋅2x=2xex2cos⁡(ex2)f'(x) = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}\cos(e^{x^2})

常见错误和注意事项

1. 隐函数求导错误

错误：忘记对 y 求导时使用链式法则 正确：对包含 y 的项求导时，要乘以 dydx\frac{dy}{dx}

例子：

  • 错误：(y2)′=2y(y^2)' = 2y
  • 正确：(y2)′=2ydydx(y^2)' = 2y\frac{dy}{dx}

2. 参数方程求导错误

错误：直接对 x 和 y 求导 正确：先对参数求导，再用公式计算

3. 对数求导法错误

错误：忘记最后乘以原函数 正确：dydx=y⋅ddx(ln⁡y)\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}(\ln y)

练习题

练习 1

求隐函数 x2+xy+y2=1x^2 + xy + y^2 = 1 的导数。

参考答案

解题思路： 使用隐函数求导法。

详细步骤：

  1. 对两边求导： 2x+y+xdydx+2ydydx=02x + y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0

  2. 整理： (x+2y)dydx=−(2x+y)(x + 2y)\frac{dy}{dx} = -(2x + y)

  3. 解出： dydx=−2x+yx+2y\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}

答案：dydx=−2x+yx+2y\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}

练习 2

求参数方程 x=t3x = t^3，y=t2y = t^2 的导数。

参考答案

解题思路： 使用参数方程求导公式。

详细步骤：

  1. 计算 dxdt\frac{dx}{dt} 和 dydt\frac{dy}{dt}： dxdt=3t2\frac{dx}{dt} = 3t^2 dydt=2t\frac{dy}{dt} = 2t

  2. 应用公式： dydx=dydtdxdt=2t3t2=23t\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{2t}{3t^2} = \frac{2}{3t}

答案：dydx=23t\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3t}

练习 3

使用对数求导法求 y=xsin⁡xy = x^{\sin x} 的导数。

参考答案

解题思路： 使用对数求导法。

详细步骤：

  1. 取对数： ln⁡y=sin⁡x⋅ln⁡x\ln y = \sin x \cdot \ln x

  2. 对两边求导： 1ydydx=cos⁡x⋅ln⁡x+sin⁡x⋅1x\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}

  3. 解出： dydx=y(cos⁡x⋅ln⁡x+sin⁡xx)=xsin⁡x(cos⁡x⋅ln⁡x+sin⁡xx)\frac{dy}{dx} = y(\cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x}) = x^{\sin x}(\cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x})

答案：dydx=xsin⁡x(cos⁡x⋅ln⁡x+sin⁡xx)\frac{dy}{dx} = x^{\sin x}(\cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x})

练习 4

求函数 f(x)={x2,x≥0−x2,x<0f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases} 的导数。

参考答案

解题思路： 分段函数求导。

详细步骤：

  1. 当 x>0x > 0 时： f′(x)=2xf'(x) = 2x

  2. 当 x<0x < 0 时： f′(x)=−2xf'(x) = -2x

  3. 在 x=0x = 0 处检查可导性：

    • 左导数：lim⁡h→0−f(h)−f(0)h=lim⁡h→0−−h2h=0\lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h^2}{h} = 0
    • 右导数：lim⁡h→0+f(h)−f(0)h=lim⁡h→0+h2h=0\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2}{h} = 0
    • 由于左导数等于右导数，所以 f′(0)=0f'(0) = 0

答案：f′(x)={2x,x>0−2x,x<00,x=0f'(x) = \begin{cases} 2x, & x > 0 \\ -2x, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}

搜索