牛顿发现导数的过程

问题的发现

想象你是 1665 年的艾萨克·牛顿，年仅 23 岁，正在剑桥大学三一学院学习。

你是一位对自然现象充满好奇的年轻人，经常观察周围的世界。有一天，你注意到一个有趣的现象：

苹果从树上掉下来时，它的速度似乎在不断变化。

你开始思考：苹果刚开始下落时速度很慢，但越往下落速度越快。这让你产生了疑问：

苹果在任意时刻的瞬时速度是多少？

你决定通过实验来研究这个问题。

实验一：测量苹果下落的位置

你找来一个苹果，从高处释放，并记录它在不同时刻的位置。

时刻（秒）	位置（米）	平均速度（米/秒）
0	0	-
1	4.9	4.9
2	19.6	14.7
3	44.1	24.5
4	78.4	34.3
5	122.5	44.1

你发现，苹果的位置可以用一个简单的公式表示： $s(t) = 4.9t^2$

其中 $s$ 是位置（米），$t$ 是时间（秒）。

实验二：计算平均速度

你开始计算苹果在不同时间段内的平均速度：

从 0 秒到 1 秒：

• 位置变化：$4.9 - 0 = 4.9$ 米
• 时间变化：$1 - 0 = 1$ 秒
• 平均速度：$\frac{4.9}{1} = 4.9$ 米/秒

从 1 秒到 2 秒：

• 位置变化：$19.6 - 4.9 = 14.7$ 米
• 时间变化：$2 - 1 = 1$ 秒
• 平均速度：$\frac{14.7}{1} = 14.7$ 米/秒

从 2 秒到 3 秒：

• 位置变化：$44.1 - 19.6 = 24.5$ 米
• 时间变化：$3 - 2 = 1$ 秒
• 平均速度：$\frac{24.5}{1} = 24.5$ 米/秒

你发现，平均速度在不断增加，这说明苹果在加速下落。

关键问题：瞬时速度

你开始思考一个更深层的问题：

苹果在某一特定时刻（比如 t=2 秒）的瞬时速度是多少？

你意识到，平均速度只能告诉我们一段时间内的平均情况，但不能告诉我们某一瞬间的确切速度。

你开始尝试用更小的时间间隔来计算：

从 1.9 秒到 2.1 秒：

• 位置变化：$s(2.1) - s(1.9) = 4.9 \times 2.1^2 - 4.9 \times 1.9^2 = 21.609 - 17.689 = 3.92$ 米
• 时间变化：$2.1 - 1.9 = 0.2$ 秒
• 平均速度：$\frac{3.92}{0.2} = 19.6$ 米/秒

从 1.99 秒到 2.01 秒：

• 位置变化：$s(2.01) - s(1.99) = 4.9 \times 2.01^2 - 4.9 \times 1.99^2 = 19.808 - 19.392 = 0.416$ 米
• 时间变化：$2.01 - 1.99 = 0.02$ 秒
• 平均速度：$\frac{0.416}{0.02} = 20.8$ 米/秒

你发现，时间间隔越小，平均速度越接近某个固定值。

数学突破：极限的概念

你开始用数学语言来描述这个过程。

对于时刻 $t$，你想知道苹果在 $t$ 时刻的瞬时速度。

你考虑一个很小的时间间隔 $\Delta t$，计算从 $t$ 到 $t + \Delta t$ 的平均速度：

\text{平均速度} = \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}

代入 $s(t) = 4.9t^2$：

\text{平均速度} = \frac{4.9(t + \Delta t)^2 - 4.9t^2}{\Delta t}

展开计算：

\text{平均速度} = \frac{4.9(t^2 + 2t\Delta t + \Delta t^2) - 4.9t^2}{\Delta t}

\text{平均速度} = \frac{4.9t^2 + 9.8t\Delta t + 4.9\Delta t^2 - 4.9t^2}{\Delta t}

\text{平均速度} = \frac{9.8t\Delta t + 4.9\Delta t^2}{\Delta t}

\text{平均速度} = 9.8t + 4.9\Delta t

你发现，当 $\Delta t$ 越来越小时，$4.9\Delta t$ 这一项越来越接近 0。

因此，瞬时速度就是：

\text{瞬时速度} = \lim_{\Delta t \to 0} (9.8t + 4.9\Delta t) = 9.8t

流数法的诞生

你把这个过程称为”流数法”（Method of Fluxions）。

核心思想：

• 将时间 $t$ 看作”流动的量”
• 位置 $s$ 是时间的函数
• 瞬时速度就是位置对时间的”流数”

符号表示：

• 用 $\dot{s}$ 表示位置 $s$ 对时间 $t$ 的流数（即瞬时速度）
• 用 $\dot{t}$ 表示时间 $t$ 对自身的流数（等于 1）

你发现了一个重要的规律：

$\dot{s} = 9.8t$

这意味着，苹果在任意时刻的瞬时速度都是 $9.8t$ 米/秒。

验证和应用

你决定验证这个结果：

在 t=2 秒时：

• 瞬时速度：$9.8 \times 2 = 19.6$ 米/秒
• 这与之前用小时间间隔计算的结果一致

在 t=3 秒时：

• 瞬时速度：$9.8 \times 3 = 29.4$ 米/秒

你开始思考更广泛的应用：

应用一：其他运动规律

你发现，对于任何位置函数 $s(t)$，瞬时速度都可以用类似的方法计算：

$\dot{s} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$

应用二：加速度

你进一步思考：既然速度在变化，那么速度的变化率（加速度）是多少？

对于 $v(t) = 9.8t$，加速度为：

$\dot{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{v(t + \Delta t) - v(t)}{\Delta t}$

$\dot{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{9.8(t + \Delta t) - 9.8t}{\Delta t}$

$\dot{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{9.8\Delta t}{\Delta t} = 9.8$

你发现，苹果下落的加速度是恒定的 $9.8$ 米/秒 ²。

几何意义的发现

你开始思考这个过程的几何意义。

如果把时间 $t$ 作为横轴，位置 $s$ 作为纵轴，那么 $s(t) = 4.9t^2$ 就是一条抛物线。

你发现，瞬时速度 $\dot{s}$ 就是这条曲线在任意点的切线斜率。

几何解释：

• 平均速度 = 割线斜率
• 瞬时速度 = 切线斜率
• 当时间间隔越来越小时，割线越来越接近切线

一般化：导数的定义

你意识到，这个过程可以应用到任何函数。

对于函数 $y = f(x)$，在点 $x$ 处的”流数”（导数）定义为：

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

几何意义：函数曲线在点 $(x, f(x))$ 处的切线斜率。

物理意义：函数在 $x$ 处的瞬时变化率。

符号系统的建立

你建立了完整的符号系统：

流数符号：

• $f'(x)$ 或 $\dot{y}$：函数 $f(x)$ 在 $x$ 处的流数
• $\ddot{y}$：二阶流数（加速度）
• $\dddot{y}$：三阶流数

微分符号（后来由莱布尼茨发展）：

• $\frac{dy}{dx}$：$y$ 对 $x$ 的导数
• $dx$：$x$ 的微分
• $dy$：$y$ 的微分

实际应用

你开始将这个新方法应用到各种问题中：

应用一：行星运动

你发现，行星的运动也可以用类似的方法描述：

• 位置函数：$r(t)$（距离太阳的距离）
• 速度：$\dot{r}(t)$
• 加速度：$\ddot{r}(t)$

应用二：光学问题

在研究光线折射时，你需要知道光线路径的斜率：

• 路径函数：$y = f(x)$
• 斜率：$f'(x)$

应用三：极值问题

你发现，函数的极值点满足 $f'(x) = 0$：

• 极大值：$f'(x) = 0$ 且 $f''(x) < 0$
• 极小值：$f'(x) = 0$ 且 $f''(x) > 0$

历史意义

你的发现开启了现代数学分析的大门：

理论贡献：

• 建立了导数的概念和计算方法
• 发现了导数的几何意义
• 建立了流数法的符号系统

应用贡献：

• 为经典力学提供了数学工具
• 为天文学研究提供了方法
• 为光学研究奠定了基础

教育意义：

• 展示了从实际问题到数学理论的思维过程
• 体现了直觉与严格推理的结合
• 说明了数学源于实际需求

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练习题

练习 1

模仿牛顿的方法，计算函数 $f(x) = x^2$ 在 $x = 3$ 处的导数。

参考答案

解题思路： 使用牛顿的流数法，通过极限过程计算导数。

详细步骤：

1. 写出平均变化率： $\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}$

2. 展开计算： $= \frac{x^2 + 2x\Delta x + \Delta x^2 - x^2}{\Delta x}$ $= \frac{2x\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x}$ $= 2x + \Delta x$

3. 取极限： $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x$

4. 代入 $x = 3$： $f'(3) = 2 \times 3 = 6$

答案：$f'(3) = 6$

练习 2

用牛顿的方法解释为什么 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处不可导。

参考答案

解题思路： 通过计算左右极限来说明不可导性。

详细步骤：

1. 计算右导数： $\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|0 + \Delta x| - |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$

2. 计算左导数： $\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|0 + \Delta x| - |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$

3. 分析结果： 左导数不等于右导数，所以函数在 $x = 0$ 处不可导。

答案：因为左导数（-1）不等于右导数（1），所以函数在 $x = 0$ 处不可导。

练习 3

用牛顿的流数法计算函数 $f(x) = x^3$ 的导数，并解释其几何意义。

参考答案

解题思路： 使用流数法计算导数，然后解释几何意义。

详细步骤：

1. 计算平均变化率： $\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{(x + \Delta x)^3 - x^3}{\Delta x}$

2. 展开计算： $= \frac{x^3 + 3x^2\Delta x + 3x\Delta x^2 + \Delta x^3 - x^3}{\Delta x}$ $= \frac{3x^2\Delta x + 3x\Delta x^2 + \Delta x^3}{\Delta x}$ $= 3x^2 + 3x\Delta x + \Delta x^2$

3. 取极限： $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (3x^2 + 3x\Delta x + \Delta x^2) = 3x^2$

4. 几何意义： $f'(x) = 3x^2$ 表示曲线 $y = x^3$ 在点 $(x, x^3)$ 处的切线斜率。

答案：$f'(x) = 3x^2$，表示曲线在任意点的切线斜率。