隐函数求导

隐函数求导是微积分中的重要技巧，用于求由方程确定的函数的导数。

隐函数求导方法

基本步骤：

1. 对方程两边同时对 $x$ 求导
2. 将 $y$ 视为 $x$ 的函数
3. 解出 $y'$

隐函数求导的原理

隐函数求导基于链式法则。当方程 $F(x, y) = 0$ 确定 $y$ 为 $x$ 的函数时，我们有：

$\frac{d}{dx}F(x, y) = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

从而得到：

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$

基本例子

例子 1：圆的方程

求 $x^2 + y^2 = 1$ 确定的隐函数的导数

解：

• 两边对 $x$ 求导：$2x + 2yy' = 0$
• 解出 $y'$：$y' = -\frac{x}{y}$

例子 2：三次曲线

求 $x^3 + y^3 = 3xy$ 确定的隐函数的导数

解：

• 两边对 $x$ 求导：$3x^2 + 3y^2y' = 3y + 3xy'$
• 整理：$3y^2y' - 3xy' = 3y - 3x^2$
• 解出 $y'$：$y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

复杂隐函数求导

例子 3：指数函数

求 $e^{xy} + x^2 + y^2 = 1$ 确定的隐函数的导数

解：

• 两边对 $x$ 求导：$e^{xy}(y + xy') + 2x + 2yy' = 0$
• 整理：$e^{xy}y + xe^{xy}y' + 2x + 2yy' = 0$
• 解出 $y'$：$y' = -\frac{e^{xy}y + 2x}{xe^{xy} + 2y}$

例子 4：对数函数

求 $\ln(x^2 + y^2) = xy$ 确定的隐函数的导数

解：

• 两边对 $x$ 求导：$\frac{2x + 2yy'}{x^2 + y^2} = y + xy'$
• 整理：$2x + 2yy' = (x^2 + y^2)(y + xy')$
• 解出 $y'$：$y' = \frac{(x^2 + y^2)y - 2x}{2y - (x^2 + y^2)x}$

隐函数求导的几何意义

隐函数求导的几何意义是求曲线在某点的切线斜率。

例子：对于圆 $x^2 + y^2 = 1$，在点 $(a, b)$ 处的切线斜率为 $-\frac{a}{b}$。

练习题

练习 1

求由方程 $x^3 + y^3 = 3xy$ 确定的隐函数的导数。

参考答案

解题思路： 使用隐函数求导方法。

详细步骤：

1. 两边对 $x$ 求导：$3x^2 + 3y^2y' = 3y + 3xy'$
2. 整理：$3y^2y' - 3xy' = 3y - 3x^2$
3. 解出 $y'$：$y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

答案：$y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

练习 2

求由方程 $x^2 + y^2 = 1$ 确定的隐函数的导数。

参考答案

解题思路： 使用隐函数求导方法。

详细步骤：

1. 两边对 $x$ 求导：$2x + 2yy' = 0$
2. 解出 $y'$：$y' = -\frac{x}{y}$

答案：$y' = -\frac{x}{y}$

练习 3

求由方程 $x^2 + xy + y^2 = 3$ 确定的隐函数的导数。

参考答案

解题思路： 使用隐函数求导方法。

详细步骤：

1. 两边对 $x$ 求导：$2x + y + xy' + 2yy' = 0$
2. 整理：$(x + 2y)y' = -(2x + y)$
3. 解出 $y'$：$y' = -\frac{2x + y}{x + 2y}$

答案：$y' = -\frac{2x + y}{x + 2y}$

练习 4

求由方程 $e^{x+y} = x^2 + y^2$ 确定的隐函数的导数。

参考答案

解题思路： 使用隐函数求导方法，注意指数函数的求导。

详细步骤：

1. 两边对 $x$ 求导：$e^{x+y}(1 + y') = 2x + 2yy'$
2. 整理：$e^{x+y} + e^{x+y}y' = 2x + 2yy'$
3. 解出 $y'$：$y' = \frac{2x - e^{x+y}}{e^{x+y} - 2y}$

答案：$y' = \frac{2x - e^{x+y}}{e^{x+y} - 2y}$

练习 5

求由方程 $\ln(x^2 + y^2) = 2xy$ 确定的隐函数的导数。

参考答案

解题思路： 使用隐函数求导方法，注意对数函数的求导。

详细步骤：

1. 两边对 $x$ 求导：$\frac{2x + 2yy'}{x^2 + y^2} = 2y + 2xy'$
2. 整理：$2x + 2yy' = (x^2 + y^2)(2y + 2xy')$
3. 解出 $y'$：$y' = \frac{2y(x^2 + y^2) - 2x}{2y - 2x(x^2 + y^2)}$

答案：$y' = \frac{2y(x^2 + y^2) - 2x}{2y - 2x(x^2 + y^2)}$