函数的单调性

单调性判别法

定理：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，在 $I$ 的内部可导，则：

1. 如果 $f'(x) > 0$ 在 $I$ 的内部成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增
2. 如果 $f'(x) < 0$ 在 $I$ 的内部成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递减

应用例子

例子 1：求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 的单调区间。

解：

• $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
• 令 $f'(x) = 0$，得 $x = 0, 2$
• 分析符号：
  • 当 $x < 0$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增
  • 当 $0 < x < 2$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减
  • 当 $x > 2$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增

例子 2：求函数 $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ 的单调区间。

解：

• $f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$
• 令 $f'(x) = 0$，得 $x = 0, 2$
• 分析符号：
  • 当 $x < 0$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增
  • 当 $0 < x < 1$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减
  • 当 $1 < x < 2$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减
  • 当 $x > 2$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增

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练习题

练习 1

求函数 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$ 的单调区间。

参考答案

解题思路： 求导数，分析符号变化。

详细步骤：

1. $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 = 4(x^3 - 3x^2 + 3x - 1)$
2. 因式分解：$f'(x) = 4(x-1)^3$
3. 当 $x < 1$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减
4. 当 $x > 1$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增

答案：函数在 $(-\infty, 1)$ 上单调递减，在 $(1, +\infty)$ 上单调递增。

练习 2

求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的单调区间。

参考答案

解题思路： 求导数，分析符号变化。

详细步骤：

1. $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$
2. 当 $x < 0$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减
3. 当 $x > 0$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增

答案：函数在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。

练习 3

求函数 $f(x) = e^{-x^2}$ 的单调区间。

参考答案

解题思路： 求导数，分析符号变化。

详细步骤：

1. $f'(x) = -2x e^{-x^2}$
2. 当 $x < 0$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增
3. 当 $x > 0$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减

答案：函数在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增，在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。