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一元函数微分学

基本导数规则

导数的基本规则是微积分学习的基础。掌握这些规则，能够快速准确地计算各种函数的导数。

常数函数
常数函数的导数

(c)′=0(c)' = 0

推导过程：

根据导数的定义： f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

对于常数函数 f(x)=cf(x) = c： f′(x)=lim⁡h→0c−ch=lim⁡h→00h=lim⁡h→00=0f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0

解释：常数函数的导数恒为零，因为常数不随自变量的变化而变化。

幂函数
幂函数的导数

(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}

推导过程：

根据导数的定义： f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

对于幂函数 f(x)=xnf(x) = x^n： f′(x)=lim⁡h→0(x+h)n−xnhf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^n - x^n}{h}

使用二项式定理展开 (x+h)n(x + h)^n： (x+h)n=xn+nxn−1h+n(n−1)2xn−2h2+⋯+hn(x + h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n

因此： f′(x)=lim⁡h→0xn+nxn−1h+n(n−1)2xn−2h2+⋯+hn−xnhf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n - x^n}{h}

=lim⁡h→0nxn−1h+n(n−1)2xn−2h2+⋯+hnh= \lim_{h \to 0} \frac{nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h}

=lim⁡h→0(nxn−1+n(n−1)2xn−2h+⋯+hn−1)= \lim_{h \to 0} \left(nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1}\right)

当 h→0h \to 0 时，除第一项外的所有项都趋于零，所以：

f′(x)=nxn−1f'(x) = nx^{n-1}

解释：幂函数的导数等于指数乘以自变量的指数减 1 次幂。

例子：

  • (x2)′=2x(x^2)' = 2x
  • (x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2
  • (x−1)′=−x−2=−1x2(x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}
  • (x1/2)′=12x−1/2=12x(x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

指数函数
自然指数函数的导数

(ex)′=ex(e^x)' = e^x
一般指数函数的导数

(ax)′=axln⁡a(a^x)' = a^x \ln a

推导过程：

对于 exe^x：

根据导数的定义： f′(x)=lim⁡h→0ex+h−exh=lim⁡h→0ex(eh−1)h=exlim⁡h→0eh−1hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}

利用重要极限 lim⁡h→0eh−1h=1\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1： f′(x)=ex⋅1=exf'(x) = e^x \cdot 1 = e^x

对于 axa^x：

设 ax=exln⁡aa^x = e^{x \ln a}，则： (ax)′=(exln⁡a)′=exln⁡a⋅ln⁡a=axln⁡a(a^x)' = (e^{x \ln a})' = e^{x \ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a

解释：指数函数的导数等于函数本身乘以底数的自然对数。

例子：

  • (ex)′=ex(e^x)' = e^x
  • (2x)′=2xln⁡2(2^x)' = 2^x \ln 2
  • (10x)′=10xln⁡10(10^x)' = 10^x \ln 10

对数函数
自然对数函数的导数

(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}
一般对数函数的导数

(log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

推导过程：

对于 ln⁡x\ln x：

根据导数的定义： f′(x)=lim⁡h→0ln⁡(x+h)−ln⁡xh=lim⁡h→0ln⁡(x+hx)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(\frac{x + h}{x}\right)}{h}

=lim⁡h→0ln⁡(1+hx)h=lim⁡h→01hln⁡(1+hx)= \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)

设 t=hxt = \frac{h}{x}，则 h=txh = tx，当 h→0h \to 0 时，t→0t \to 0： f′(x)=lim⁡t→01txln⁡(1+t)=1xlim⁡t→0ln⁡(1+t)tf'(x) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{tx} \ln(1 + t) = \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t}

利用重要极限 lim⁡t→0ln⁡(1+t)t=1\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} = 1： f′(x)=1x⋅1=1xf'(x) = \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x}

对于 log⁡ax\log_a x：

利用换底公式 log⁡ax=ln⁡xln⁡a\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}： (log⁡ax)′=(ln⁡xln⁡a)′=1ln⁡a⋅1x=1xln⁡a(\log_a x)' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln a}

解释：对数函数的导数等于自变量的倒数乘以一个常数。

例子：

  • (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}
  • (log⁡2x)′=1xln⁡2(\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}
  • (log⁡10x)′=1xln⁡10(\log_{10} x)' = \frac{1}{x \ln 10}

三角函数
正弦函数的导数

(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x
余弦函数的导数

(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x
正切函数的导数

(tan⁡x)′=sec⁡2x=1cos⁡2x(\tan x)' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}
余切函数的导数

(cot⁡x)′=−csc⁡2x=−1sin⁡2x(\cot x)' = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}

推导过程：

对于 sin⁡x\sin x：

根据导数的定义： f′(x)=lim⁡h→0sin⁡(x+h)−sin⁡xhf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h}

使用三角恒等式 sin⁡(x+h)=sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h\sin(x + h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h： f′(x)=lim⁡h→0sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h−sin⁡xhf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}

=lim⁡h→0sin⁡x(cos⁡h−1)+cos⁡xsin⁡hh= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x(\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}

=sin⁡xlim⁡h→0cos⁡h−1h+cos⁡xlim⁡h→0sin⁡hh= \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}

利用重要极限 lim⁡h→0sin⁡hh=1\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 和 lim⁡h→0cos⁡h−1h=0\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0： f′(x)=sin⁡x⋅0+cos⁡x⋅1=cos⁡xf'(x) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x

对于 cos⁡x\cos x：

类似地，使用 cos⁡(x+h)=cos⁡xcos⁡h−sin⁡xsin⁡h\cos(x + h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h： f′(x)=lim⁡h→0cos⁡xcos⁡h−sin⁡xsin⁡h−cos⁡xhf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}

=lim⁡h→0cos⁡x(cos⁡h−1)−sin⁡xsin⁡hh= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h}

=cos⁡xlim⁡h→0cos⁡h−1h−sin⁡xlim⁡h→0sin⁡hh= \cos x \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}

=cos⁡x⋅0−sin⁡x⋅1=−sin⁡x= \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x

对于 tan⁡x\tan x：

使用商法则：(tan⁡x)′=(sin⁡xcos⁡x)′=cos⁡x⋅cos⁡x−sin⁡x⋅(−sin⁡x)cos⁡2x(\tan x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}

=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2x=sec⁡2x= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x

反三角函数：

  • (arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
  • (arccos⁡x)′=−11−x2(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
  • (arctan⁡x)′=11+x2(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}

解释：三角函数的导数遵循特定的规律，这些规律在物理和工程中有广泛应用。

练习题

练习 1

求函数 f(x)=x3+2x2−5x+1f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1 的导数。

参考答案

解题思路： 使用和差法则和幂函数导数公式。

详细步骤：

  1. 应用和差法则： f′(x)=(x3)′+(2x2)′−(5x)′+(1)′f'(x) = (x^3)' + (2x^2)' - (5x)' + (1)'

  2. 计算各项导数： (x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2 (2x2)′=2⋅2x=4x(2x^2)' = 2 \cdot 2x = 4x (5x)′=5(5x)' = 5 (1)′=0(1)' = 0

  3. 合并结果： f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5

答案：f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5

练习 2

求函数 f(x)=x2sin⁡xf(x) = x^2 \sin x 的导数。

参考答案

解题思路： 使用乘积法则。

详细步骤：

  1. 设 u=x2u = x^2，v=sin⁡xv = \sin x

  2. 计算 u′u' 和 v′v'： u′=2xu' = 2x v′=cos⁡xv' = \cos x

  3. 应用乘积法则： f′(x)=u′v+uv′=2x⋅sin⁡x+x2⋅cos⁡xf'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x

  4. 整理结果： f′(x)=2xsin⁡x+x2cos⁡xf'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x

答案：f′(x)=2xsin⁡x+x2cos⁡xf'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x

练习 3

求函数 f(x)=x2+1x−1f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} 的导数。

参考答案

解题思路： 使用商法则。

详细步骤：

  1. 设 u=x2+1u = x^2 + 1，v=x−1v = x - 1

  2. 计算 u′u' 和 v′v'： u′=2xu' = 2x v′=1v' = 1

  3. 应用商法则： f′(x)=u′v−uv′v2=2x(x−1)−(x2+1)(1)(x−1)2f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2x(x-1) - (x^2+1)(1)}{(x-1)^2}

  4. 展开计算： =2x2−2x−x2−1(x−1)2=x2−2x−1(x−1)2= \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}

答案：f′(x)=x2−2x−1(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}

练习 4

求函数 f(x)=sin⁡(x2+1)f(x) = \sin(x^2 + 1) 的导数。

参考答案

解题思路： 使用链式法则。

详细步骤：

  1. 设 u=x2+1u = x^2 + 1，则 f(x)=sin⁡uf(x) = \sin u

  2. 计算各层导数： dfdu=cos⁡u=cos⁡(x2+1)\frac{df}{du} = \cos u = \cos(x^2 + 1) dudx=2x\frac{du}{dx} = 2x

  3. 应用链式法则： f′(x)=dfdu⋅dudx=cos⁡(x2+1)⋅2xf'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(x^2 + 1) \cdot 2x

  4. 整理结果： f′(x)=2xcos⁡(x2+1)f'(x) = 2x\cos(x^2 + 1)

答案：f′(x)=2xcos⁡(x2+1)f'(x) = 2x\cos(x^2 + 1)

练习 5

改编自2022考研数学一第1题

设 lim⁡x→1f(x)ln⁡x=1\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x}=1，求 f′(1)f'(1) 的值。

参考答案

解题思路： 利用等价无穷小的性质和导数的定义。

详细步骤：

  1. 由 lim⁡x→1f(x)ln⁡x=1\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x}=1，可得 f(x)∼ln⁡xf(x)\sim \ln x 当 x→1x\to1

  2. 当 x→1x\to1 时，ln⁡x→0\ln x\to0，所以 lim⁡x→1f(x)=0\lim\limits_{x\to1} f(x)=0

  3. 设 g(x)=f(x)ln⁡xg(x)=\frac{f(x)}{\ln x}，则 f(x)=g(x)ln⁡xf(x)=g(x)\ln x

  4. 应用乘积法则： f′(x)=g′(x)ln⁡x+g(x)⋅1xf'(x)=g'(x)\ln x + g(x)\cdot\frac{1}{x}

  5. 当 x→1x\to1 时，ln⁡x→0\ln x\to0，1x→1\frac{1}{x}\to1，g(x)→1g(x)\to1

  6. 因此 f′(1)=lim⁡x→1f′(x)=1f'(1)=\lim\limits_{x\to1} f'(x)=1

答案：f′(1)=1f'(1)=1

练习 6

改编自2023考研数学一第3题

设函数 y=f(x)y=f(x) 由参数方程 {x=2t+∣t∣y=∣t∣sin⁡t\begin{cases}x=2t+|t|\\y=|t|\sin t\end{cases} 确定，求 f′(0)f'(0)。

参考答案

解题思路： 使用参数方程求导公式。

详细步骤：

  1. 当 t≥0t\geq0 时，x=3t,y=tsin⁡tx=3t, y=t\sin t，所以 y=x3sin⁡x3y=\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}

  2. 当 t<0t<0 时，x=t,y=−tsin⁡tx=t, y=-t\sin t，所以 y=−xsin⁡xy=-x\sin x

  3. 因此 f(x)={x3sin⁡x3,x≥0−xsin⁡x,x<0f(x)=\begin{cases}\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}, & x\geq0\\-x\sin x, & x<0\end{cases}

  4. 计算左导数： f−′(0)=lim⁡x→0−−xsin⁡x−0x=−lim⁡x→0−sin⁡x=0f'_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-x\sin x-0}{x}=-\lim\limits_{x\to0^-}\sin x=0

  5. 计算右导数： f+′(0)=lim⁡x→0+x3sin⁡x3−0x=lim⁡x→0+sin⁡x33=0f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}-0}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\sin\frac{x}{3}}{3}=0

  6. 由于左导数和右导数相等，所以 f′(0)=0f'(0)=0

答案：f′(0)=0f'(0)=0

练习 7

改编自2024考研数学一第1题

已知函数 f(x)=∫0xecos⁡tdtf(x)=\int_0^x e^{\cos t}dt，求 f′(x)f'(x)。

参考答案

解题思路： 使用积分上限函数的导数公式。

详细步骤：

  1. 根据积分上限函数的导数公式： f′(x)=ecos⁡xf'(x)=e^{\cos x}

答案：f′(x)=ecos⁡xf'(x)=e^{\cos x}

练习 8

改编自2025考研数学一第1题

已知函数 f(x)=∫0xet2sin⁡t dtf(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt，求 f′(x)f'(x)。

参考答案

解题思路： 使用积分上限函数的导数公式。

详细步骤：

  1. 根据积分上限函数的导数公式： f′(x)=ex2sin⁡xf'(x) = e^{x^2} \sin x

答案：f′(x)=ex2sin⁡xf'(x) = e^{x^2} \sin x

练习 9

改编自2022考研数学一第17题

设 y=y(x)y=y(x) 满足 y′+12xy=2+xy'+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}，y(1)=3y(1)=3，求 y′(1)y'(1)。

参考答案

解题思路： 利用微分方程的性质和导数的定义。

详细步骤：

  1. 将 x=1x=1 代入微分方程： y′(1)+121y(1)=2+1y'(1)+\frac{1}{2\sqrt{1}}y(1)=2+\sqrt{1}

  2. 已知 y(1)=3y(1)=3，所以： y′(1)+12⋅3=3y'(1)+\frac{1}{2}\cdot3=3

  3. 解得：y′(1)=3−32=32y'(1)=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}

答案：y′(1)=32y'(1)=\frac{3}{2}

练习 10

改编自2023考研数学一第14题

设连续函数 f(x)f(x) 满足 f(x+2)−f(x)=xf(x+2)-f(x)=x，∫02f(x)dx=0\int_0^2 f(x)dx=0，求 f′(0)f'(0)。

参考答案

解题思路： 利用函数性质和导数的定义。

详细步骤：

  1. 由 f(x+2)−f(x)=xf(x+2)-f(x)=x，两边对 xx 求导： f′(x+2)−f′(x)=1f'(x+2)-f'(x)=1

  2. 当 x=0x=0 时： f′(2)−f′(0)=1f'(2)-f'(0)=1

  3. 由于 f(x)f(x) 连续，且 ∫02f(x)dx=0\int_0^2 f(x)dx=0，可以推断 f(0)=0f(0)=0

  4. 利用导数的定义： f′(0)=lim⁡h→0f(h)−f(0)h=lim⁡h→0f(h)hf'(0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(h)}{h}

  5. 由于 f(x+2)−f(x)=xf(x+2)-f(x)=x，当 x=0x=0 时，f(2)−f(0)=0f(2)-f(0)=0，所以 f(2)=0f(2)=0

  6. 因此 f′(0)=12f'(0)=\frac{1}{2}

答案：f′(0)=12f'(0)=\frac{1}{2}

练习 11

改编自2024考研数学一第20题

设函数 f(x)f(x) 在 [−a,a][-a,a] 上具有二阶连续导数，且 f(0)=0f(0)=0，f′(0)=0f'(0)=0，求 f′′(0)f''(0)。

参考答案

解题思路： 利用泰勒公式和导数的定义。

详细步骤：

  1. 使用泰勒公式展开到二阶： f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+o(x2)f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + o(x^2)

  2. 已知 f(0)=0f(0)=0，f′(0)=0f'(0)=0，所以： f(x)=f′′(0)2x2+o(x2)f(x) = \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)

  3. 因此： f′′(0)=2lim⁡x→0f(x)x2f''(0) = 2\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}

  4. 由于 f(x)f(x) 在 [−a,a][-a,a] 上连续，且 f(0)=0f(0)=0，所以 f′′(0)=0f''(0)=0

答案：f′′(0)=0f''(0)=0

练习 12

改编自2025考研数学一第22题

设二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 的概率密度为 f(x,y)f(x,y)，且函数 g(x)=∫−∞xf(t,y)dtg(x) = \int_{-\infty}^x f(t,y)dt，求 g′(x)g'(x)。

参考答案

解题思路： 使用积分上限函数的导数公式。

详细步骤：

  1. 根据积分上限函数的导数公式： g′(x)=f(x,y)g'(x) = f(x,y)

  2. 这是概率密度函数的性质，积分上限函数的导数等于被积函数在积分上限处的值

答案：g′(x)=f(x,y)g'(x) = f(x,y)

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