logo
简体中文

导航菜单

一元函数微分学

实际应用问题

实际应用问题

物理应用

1. 运动学问题

例子 1：一个物体沿直线运动，位移函数为 s(t)=t3−3t2+2s(t) = t^3 - 3t^2 + 2，求速度为零的时刻。

解：

  • 速度 v(t)=s′(t)=3t2−6t=3t(t−2)v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t = 3t(t-2)
  • 令 v(t)=0v(t) = 0，得 t=0,2t = 0, 2
  • 速度为零的时刻为 t=0t = 0 和 t=2t = 2

例子 2：一个物体沿直线运动，位移函数为 s(t)=sin⁡ts(t) = \sin t，求加速度为零的时刻。

解：

  • 速度 v(t)=s′(t)=cos⁡tv(t) = s'(t) = \cos t
  • 加速度 a(t)=v′(t)=−sin⁡ta(t) = v'(t) = -\sin t
  • 令 a(t)=0a(t) = 0，得 sin⁡t=0\sin t = 0
  • 加速度为零的时刻为 t=nπt = n\pi（nn 为整数）

2. 力学问题

例子：一个弹簧的势能为 U(x)=12kx2U(x) = \frac{1}{2}kx^2，求平衡位置。

解：

  • 力 F(x)=−U′(x)=−kxF(x) = -U'(x) = -kx
  • 平衡位置：F(x)=0F(x) = 0，即 x=0x = 0

3. 热学问题

例子：某物体的温度变化函数为 T(t)=T0+(T1−T0)e−ktT(t) = T_0 + (T_1 - T_0)e^{-kt}，求温度变化率最大的时刻。

解：

  • 温度变化率 T′(t)=−k(T1−T0)e−ktT'(t) = -k(T_1 - T_0)e^{-kt}
  • 温度变化率的变化率 T′′(t)=k2(T1−T0)e−ktT''(t) = k^2(T_1 - T_0)e^{-kt}
  • 令 T′′(t)=0T''(t) = 0，得 t=0t = 0
  • 温度变化率在 t=0t = 0 时最大

经济应用

1. 成本函数

例子 1：某产品的成本函数为 C(x)=x3−3x2+2x+10C(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 10，求平均成本最小的产量。

解：

  • 平均成本 AC(x)=C(x)x=x2−3x+2+10xAC(x) = \frac{C(x)}{x} = x^2 - 3x + 2 + \frac{10}{x}
  • AC′(x)=2x−3−10x2AC'(x) = 2x - 3 - \frac{10}{x^2}
  • 令 AC′(x)=0AC'(x) = 0，得 2x3−3x2−10=02x^3 - 3x^2 - 10 = 0
  • 通过数值方法求解，得到 x≈2.5x \approx 2.5

例子 2：某产品的成本函数为 C(x)=100+5x+0.1x2C(x) = 100 + 5x + 0.1x^2，求边际成本。

解：

  • 边际成本 MC(x)=C′(x)=5+0.2xMC(x) = C'(x) = 5 + 0.2x

2. 收益函数

例子：某产品的需求函数为 p=100−2xp = 100 - 2x，求收益最大的产量。

解：

  • 收益函数 R(x)=px=(100−2x)x=100x−2x2R(x) = px = (100 - 2x)x = 100x - 2x^2
  • R′(x)=100−4xR'(x) = 100 - 4x
  • 令 R′(x)=0R'(x) = 0，得 x=25x = 25
  • 收益最大的产量为 x=25x = 25

3. 利润函数

例子：某产品的成本函数为 C(x)=100+5x+0.1x2C(x) = 100 + 5x + 0.1x^2，需求函数为 p=100−2xp = 100 - 2x，求利润最大的产量。

解：

  • 收益函数 R(x)=px=(100−2x)x=100x−2x2R(x) = px = (100 - 2x)x = 100x - 2x^2
  • 利润函数 π(x)=R(x)−C(x)=100x−2x2−(100+5x+0.1x2)\pi(x) = R(x) - C(x) = 100x - 2x^2 - (100 + 5x + 0.1x^2)
  • =−2.1x2+95x−100= -2.1x^2 + 95x - 100
  • π′(x)=−4.2x+95\pi'(x) = -4.2x + 95
  • 令 π′(x)=0\pi'(x) = 0，得 x=954.2≈22.6x = \frac{95}{4.2} \approx 22.6
  • 利润最大的产量约为 x=22.6x = 22.6

生物学应用

1. 种群增长

例子：某种群的数量变化函数为 N(t)=K1+Ae−rtN(t) = \frac{K}{1 + Ae^{-rt}}，求种群增长最快的时刻。

解：

  • 种群增长率 N′(t)=KrAe−rt(1+Ae−rt)2N'(t) = \frac{KrAe^{-rt}}{(1 + Ae^{-rt})^2}
  • 增长率的变化率 N′′(t)=Kr2Ae−rt(Ae−rt−1)(1+Ae−rt)3N''(t) = \frac{Kr^2Ae^{-rt}(Ae^{-rt} - 1)}{(1 + Ae^{-rt})^3}
  • 令 N′′(t)=0N''(t) = 0，得 Ae−rt=1Ae^{-rt} = 1
  • 解得 t=ln⁡Art = \frac{\ln A}{r}

2. 药物浓度

例子：某药物在血液中的浓度函数为 C(t)=C0e−ktC(t) = C_0e^{-kt}，求浓度变化率最大的时刻。

解：

  • 浓度变化率 C′(t)=−kC0e−ktC'(t) = -kC_0e^{-kt}
  • 浓度变化率的变化率 C′′(t)=k2C0e−ktC''(t) = k^2C_0e^{-kt}
  • 浓度变化率在 t=0t = 0 时最大

工程应用

1. 结构优化

例子：一个圆柱形容器的体积为 VV，求表面积最小的半径。

解：

  • 设半径为 rr，高为 hh
  • 体积 V=πr2hV = \pi r^2h，得 h=Vπr2h = \frac{V}{\pi r^2}
  • 表面积 S=2πr2+2πrh=2πr2+2VrS = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}
  • S′(r)=4πr−2Vr2S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}
  • 令 S′(r)=0S'(r) = 0，得 4πr3=2V4\pi r^3 = 2V
  • 解得 r=V2π3r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}

2. 电路设计

例子：某电路的功率函数为 P(R)=V2R(R+r)2P(R) = \frac{V^2R}{(R + r)^2}，求功率最大的电阻值。

解：

  • P′(R)=V2[(R+r)2−2R(R+r)](R+r)4=V2(r2−R2)(R+r)4P'(R) = \frac{V^2[(R + r)^2 - 2R(R + r)]}{(R + r)^4} = \frac{V^2(r^2 - R^2)}{(R + r)^4}
  • 令 P′(R)=0P'(R) = 0，得 R=rR = r
  • 功率最大的电阻值为 R=rR = r

统计学应用

1. 最大似然估计

例子：设随机变量 XX 服从正态分布 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)，求 μ\mu 的最大似然估计。

解：

  • 似然函数 L(μ)=∏i=1n12πσe−(xi−μ)22σ2L(\mu) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}}
  • 对数似然函数 ln⁡L(μ)=−n2ln⁡(2πσ2)−12σ2∑i=1n(xi−μ)2\ln L(\mu) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2
  • ddμln⁡L(μ)=1σ2∑i=1n(xi−μ)\frac{d}{d\mu}\ln L(\mu) = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)
  • 令 ddμln⁡L(μ)=0\frac{d}{d\mu}\ln L(\mu) = 0，得 μ=1n∑i=1nxi\mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i

2. 回归分析

例子：求线性回归 y=ax+by = ax + b 中参数 aa 和 bb 的最小二乘估计。

解：

  • 残差平方和 S=∑i=1n(yi−axi−b)2S = \sum_{i=1}^n (y_i - ax_i - b)^2
  • ∂S∂a=−2∑i=1nxi(yi−axi−b)\frac{\partial S}{\partial a} = -2\sum_{i=1}^n x_i(y_i - ax_i - b)
  • ∂S∂b=−2∑i=1n(yi−axi−b)\frac{\partial S}{\partial b} = -2\sum_{i=1}^n (y_i - ax_i - b)
  • 令偏导数为零，解得：
  • a=n∑xiyi−∑xi∑yin∑xi2−(∑xi)2a = \frac{n\sum x_iy_i - \sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}
  • b=∑yi−a∑xinb = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}

常见错误和注意事项

1. 物理应用错误

错误：混淆位移、速度、加速度的关系 正确：速度是位移的导数，加速度是速度的导数

2. 经济应用错误

错误：忽略边际概念 正确：边际成本是总成本的导数，边际收益是总收益的导数

3. 优化问题错误

错误：只求导而不验证极值 正确：需要验证二阶导数或边界条件

4. 单位问题

错误：忽略物理量的单位 正确：确保所有计算中的单位一致

练习题

练习 1

一个物体沿直线运动，位移函数为 s(t)=t3−3t2+2s(t) = t^3 - 3t^2 + 2，求速度为零的时刻。

参考答案

解题思路： 求位移函数的导数，令速度为零。

详细步骤：

  1. 速度 v(t)=s′(t)=3t2−6t=3t(t−2)v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t = 3t(t-2)
  2. 令 v(t)=0v(t) = 0，得 t=0,2t = 0, 2
  3. 速度为零的时刻为 t=0t = 0 和 t=2t = 2

答案：速度为零的时刻为 t=0t = 0 和 t=2t = 2。

练习 2

某产品的成本函数为 C(x)=x3−3x2+2x+10C(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 10，求平均成本最小的产量。

参考答案

解题思路： 求平均成本函数，求导找极值。

详细步骤：

  1. 平均成本 AC(x)=C(x)x=x2−3x+2+10xAC(x) = \frac{C(x)}{x} = x^2 - 3x + 2 + \frac{10}{x}
  2. AC′(x)=2x−3−10x2AC'(x) = 2x - 3 - \frac{10}{x^2}
  3. 令 AC′(x)=0AC'(x) = 0，得 2x3−3x2−10=02x^3 - 3x^2 - 10 = 0
  4. 通过数值方法求解，得到 x≈2.5x \approx 2.5

答案：平均成本最小的产量约为 x=2.5x = 2.5。

练习 3

某产品的需求函数为 p=100−2xp = 100 - 2x，求收益最大的产量。

参考答案

解题思路： 求收益函数，求导找极值。

详细步骤：

  1. 收益函数 R(x)=px=(100−2x)x=100x−2x2R(x) = px = (100 - 2x)x = 100x - 2x^2
  2. R′(x)=100−4xR'(x) = 100 - 4x
  3. 令 R′(x)=0R'(x) = 0，得 x=25x = 25
  4. 收益最大的产量为 x=25x = 25

答案：收益最大的产量为 x=25x = 25。

搜索