复合函数求导
复合函数求导是微积分中的重要技巧,掌握好链式法则对于解决复杂的求导问题至关重要。
复合函数的基本概念
什么是复合函数
定义:如果函数 y=f(u) 的定义域包含函数 u=g(x) 的值域,那么函数 y=f(g(x)) 称为 f 和 g 的复合函数。
记法:y=(f∘g)(x)=f(g(x))
复合函数的例子
例子 1:y=sin(x2)
- 外层函数:f(u)=sinu
- 内层函数:g(x)=x2
- 复合函数:y=f(g(x))=sin(x2)
例子 2:y=elnx
- 外层函数:f(u)=eu
- 内层函数:g(x)=lnx
- 复合函数:y=f(g(x))=elnx=x
链式法则
基本链式法则
如果 y=f(u),u=g(x),则
dxdy=dudy⋅dxdu=f′(u)⋅g′(x)
记忆方法:
链式法则的证明
证明思路:
- 设 y=f(u),u=g(x)
- 当 x 有增量 Δx 时,u 有增量 Δu=g(x+Δx)−g(x)
- 相应地,y 有增量 Δy=f(u+Δu)−f(u)
- 当 Δx→0 时,Δu→0,所以:
dxdy=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0ΔuΔy⋅ΔxΔu=dudy⋅dxdu
基本例子
例子 1:求 y=sin(x2) 的导数
解:
- 外层:f(u)=sinu,f′(u)=cosu
- 内层:g(x)=x2,g′(x)=2x
- 复合函数导数:y′=cos(x2)⋅2x=2xcos(x2)
例子 2:求 y=ex3 的导数
解:
- 外层:f(u)=eu,f′(u)=eu
- 内层:g(x)=x3,g′(x)=3x2
- 复合函数导数:y′=ex3⋅3x2=3x2ex3
多层复合函数
三层复合函数
dxdy=dudy⋅dvdu⋅dxdv=f′(u)⋅g′(v)⋅h′(x)
多层复合函数的例子
例子 1:求 y=sin(ln(x2+1)) 的导数
解:
- 最外层:f(u)=sinu,f′(u)=cosu
- 中间层:g(v)=lnv,g′(v)=v1
- 最内层:h(x)=x2+1,h′(x)=2x
- 复合函数导数:y′=cos(ln(x2+1))⋅x2+11⋅2x=x2+12xcos(ln(x2+1))
例子 2:求 y=esin(x3) 的导数
解:
- 最外层:f(u)=eu,f′(u)=eu
- 中间层:g(v)=sinv,g′(v)=cosv
- 最内层:h(x)=x3,h′(x)=3x2
- 复合函数导数:y′=esin(x3)⋅cos(x3)⋅3x2=3x2cos(x3)esin(x3)
常见复合函数求导
1. 幂函数复合
(f(x)n)′=n⋅f(x)n−1⋅f′(x)
例子:
- ((x2+1)3)′=3(x2+1)2⋅2x=6x(x2+1)2
- (sin2x)′=2sinx⋅cosx=sin(2x)
2. 指数函数复合
(ef(x))′=ef(x)⋅f′(x)
例子:
- (ex2)′=ex2⋅2x=2xex2
- (esinx)′=esinx⋅cosx
3. 对数函数复合
(lnf(x))′=f(x)f′(x)
例子:
- (ln(x2+1))′=x2+12x
- (ln∣sinx∣)′=sinxcosx=cotx
4. 三角函数复合
(sinf(x))′=cosf(x)⋅f′(x)(cosf(x))′=−sinf(x)⋅f′(x)(tanf(x))′=sec2f(x)⋅f′(x)
例子:
- (sin(x3))′=cos(x3)⋅3x2=3x2cos(x3)
- (cos(lnx))′=−sin(lnx)⋅x1=−xsin(lnx)
5. 反三角函数复合
(arcsinf(x))′=1−f(x)2f′(x)
(arccosf(x))′=−1−f(x)2f′(x)(arctanf(x))′=1+f(x)2f′(x)
例子:
- (arcsin(x2))′=1−x42x
- (arctan(lnx))′=1+(lnx)21/x=x(1+(lnx)2)1
练习题
练习 1
求函数 f(x)=sin(ex2) 的导数。
参考答案
解题思路:
这是一个三层复合函数,需要逐层使用链式法则。
详细步骤:
- 最外层:f(u)=sinu,f′(u)=cosu
- 中间层:g(v)=ev,g′(v)=ev
- 最内层:h(x)=x2,h′(x)=2x
- 复合函数导数:f′(x)=cos(ex2)⋅ex2⋅2x=2xex2cos(ex2)
答案:f′(x)=2xex2cos(ex2)
练习 2
求函数 f(x)=ln(sin(x3+1)) 的导数。
参考答案
解题思路:
这是一个三层复合函数,使用对数函数和三角函数的复合。
详细步骤:
- 最外层:f(u)=lnu,f′(u)=u1
- 中间层:g(v)=sinv,g′(v)=cosv
- 最内层:h(x)=x3+1,h′(x)=3x2
- 复合函数导数:f′(x)=sin(x3+1)1⋅cos(x3+1)⋅3x2=sin(x3+1)3x2cos(x3+1)=3x2cot(x3+1)
答案:f′(x)=3x2cot(x3+1)
练习 3
求函数 f(x)=(x2+1)sinx 的导数。
参考答案
解题思路:
这是一个幂函数复合,需要使用幂函数求导公式。
详细步骤:
- 外层:f(u)=usinx,f′(u)=sinx⋅usinx−1
- 内层:g(x)=x2+1,g′(x)=2x
- 复合函数导数:f′(x)=sinx⋅(x2+1)sinx−1⋅2x=2xsinx(x2+1)sinx−1
答案:f′(x)=2xsinx(x2+1)sinx−1
练习 4
求函数 f(x)=arcsin(ln(x2+1)) 的导数。
参考答案
解题思路:
这是一个三层复合函数,包含反三角函数和对数函数。
详细步骤:
- 最外层:f(u)=arcsinu,f′(u)=1−u21
- 中间层:g(v)=lnv,g′(v)=v1
- 最内层:h(x)=x2+1,h′(x)=2x
- 复合函数导数:f′(x)=1−(ln(x2+1))21⋅x2+11⋅2x=(x2+1)1−(ln(x2+1))22x
答案:f′(x)=(x2+1)1−(ln(x2+1))22x
练习 5
求函数 f(x)=esin(ln(x2+1)) 的导数。
参考答案
解题思路:
这是一个四层复合函数,需要逐层使用链式法则。
详细步骤:
- 最外层:f(u)=eu,f′(u)=eu
- 第二层:g(v)=sinv,g′(v)=cosv
- 第三层:h(w)=lnw,h′(w)=w1
- 最内层:k(x)=x2+1,k′(x)=2x
- 复合函数导数:f′(x)=esin(ln(x2+1))⋅cos(ln(x2+1))⋅x2+11⋅2x=x2+12xcos(ln(x2+1))esin(ln(x2+1))
答案:f′(x)=x2+12xcos(ln(x2+1))esin(ln(x2+1))
练习 6
改编自2022考研数学一第2题
设 f(u) 可导,z=xyf(xy),求 ∂x∂z。
参考答案
解题思路:
使用复合函数的链式法则和乘积法则。
详细步骤:
-
设 u=xy,则 z=xyf(u)
-
对 x 求偏导,使用乘积法则:
∂x∂z=yf(u)+xyf′(u)⋅∂x∂u
-
计算 ∂x∂u:
u=xy,所以 ∂x∂u=−x2y
-
代入得到:
∂x∂z=yf(xy)+xyf′(xy)⋅(−x2y)
=yf(xy)−y2f′(xy)x1
答案:∂x∂z=yf(xy)−y2f′(xy)x1
练习 7
改编自2023考研数学一第3题
设函数 y=f(x) 由参数方程 {x=2t+∣t∣y=∣t∣sint 确定,求 f′(0)。
参考答案
解题思路:
使用参数方程求导公式和复合函数求导。
详细步骤:
-
当 t≥0 时,x=3t,y=tsint,所以 y=3xsin3x
-
当 t<0 时,x=t,y=−tsint,所以 y=−xsinx
-
因此 f(x)={3xsin3x,−xsinx,x≥0x<0
-
计算左导数:
f−′(0)=x→0−limx−xsinx−0=−x→0−limsinx=0
-
计算右导数:
f+′(0)=x→0+limx3xsin3x−0=x→0+lim3sin3x=0
-
由于左导数和右导数相等,所以 f′(0)=0
答案:f′(0)=0
练习 8
改编自2024考研数学一第1题
已知函数 f(x)=∫0xecostdt,求 f′(x) 和 f′′(x)。
参考答案
解题思路:
使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。
详细步骤:
-
根据积分上限函数求导公式:
f′(x)=ecosx
-
对 f′(x) 再次求导,使用复合函数求导:
设 u=cosx,则 f′(x)=eu
dxd(eu)=eu⋅dxdu=ecosx⋅(−sinx)=−ecosxsinx
答案:
f′(x)=ecosx
f′′(x)=−ecosxsinx
练习 9
改编自2025考研数学一第1题
已知函数 f(x)=∫0xet2sintdt,求 f′(x) 和 f′′(x)。
参考答案
解题思路:
使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。
详细步骤:
-
根据积分上限函数求导公式:
f′(x)=ex2sinx
-
对 f′(x) 再次求导,使用乘积法则和复合函数求导:
设 u=ex2,v=sinx
u′=ex2⋅2x=2xex2(复合函数求导)
v′=cosx
-
应用乘积法则:
f′′(x)=u′v+uv′=2xex2⋅sinx+ex2⋅cosx
=2xex2sinx+ex2cosx
答案:
f′(x)=ex2sinx
f′′(x)=2xex2sinx+ex2cosx
练习 10
改编自2022考研数学一第17题
设 y=y(x) 满足 y′+2x1y=2+x,y(1)=3,求 y(x) 的表达式。
参考答案
解题思路:
使用一阶线性微分方程的求解方法。
详细步骤:
-
这是一个一阶线性微分方程:y′+2x1y=2+x
-
积分因子:μ(x)=e∫2x1dx=ex
-
方程两边乘以积分因子:
exy′+ex2x1y=(2+x)ex
-
左边可以写成:(exy)′=(2+x)ex
-
积分得:exy=∫(2+x)exdx
-
计算积分:∫(2+x)exdx=2∫exdx+∫xexdx
-
设 u=x,则 dx=2udu,积分变为:
2∫eu⋅2udu+∫ueu⋅2udu=4∫ueudu+2∫u2eudu
-
使用分部积分法求解,最终得到:
y(x)=e−x(2xex+C)
-
由 y(1)=3,得 C=e,所以:
y(x)=e−x(2xex+e)
答案:y(x)=e−x(2xex+e)