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复合函数求导

复合函数求导是微积分中的重要技巧,掌握好链式法则对于解决复杂的求导问题至关重要。

复合函数的基本概念

什么是复合函数

定义:如果函数 y=f(u)y = f(u) 的定义域包含函数 u=g(x)u = g(x) 的值域,那么函数 y=f(g(x))y = f(g(x)) 称为 ffgg 的复合函数。

记法y=(fg)(x)=f(g(x))y = (f \circ g)(x) = f(g(x))

复合函数的例子

例子 1y=sin(x2)y = \sin(x^2)

  • 外层函数:f(u)=sinuf(u) = \sin u
  • 内层函数:g(x)=x2g(x) = x^2
  • 复合函数:y=f(g(x))=sin(x2)y = f(g(x)) = \sin(x^2)

例子 2y=elnxy = e^{\ln x}

  • 外层函数:f(u)=euf(u) = e^u
  • 内层函数:g(x)=lnxg(x) = \ln x
  • 复合函数:y=f(g(x))=elnx=xy = f(g(x)) = e^{\ln x} = x

链式法则

基本链式法则

链式法则

如果 y=f(u)y = f(u)u=g(x)u = g(x),则

dydx=dydududx=f(u)g(x)\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)

记忆方法

  • 从外到内逐层求导
  • 每层求导后乘以内层函数的导数

链式法则的证明

证明思路

  1. y=f(u)y = f(u)u=g(x)u = g(x)
  2. xx 有增量 Δx\Delta x 时,uu 有增量 Δu=g(x+Δx)g(x)\Delta u = g(x + \Delta x) - g(x)
  3. 相应地,yy 有增量 Δy=f(u+Δu)f(u)\Delta y = f(u + \Delta u) - f(u)
  4. Δx0\Delta x \to 0 时,Δu0\Delta u \to 0,所以: dydx=limΔx0ΔyΔx=limΔx0ΔyΔuΔuΔx=dydududx\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

基本例子

例子 1:求 y=sin(x2)y = \sin(x^2) 的导数

  • 外层:f(u)=sinuf(u) = \sin uf(u)=cosuf'(u) = \cos u
  • 内层:g(x)=x2g(x) = x^2g(x)=2xg'(x) = 2x
  • 复合函数导数:y=cos(x2)2x=2xcos(x2)y' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)

例子 2:求 y=ex3y = e^{x^3} 的导数

  • 外层:f(u)=euf(u) = e^uf(u)=euf'(u) = e^u
  • 内层:g(x)=x3g(x) = x^3g(x)=3x2g'(x) = 3x^2
  • 复合函数导数:y=ex33x2=3x2ex3y' = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2e^{x^3}

多层复合函数

三层复合函数

三层复合函数求导
dydx=dydududvdvdx=f(u)g(v)h(x)\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = f'(u) \cdot g'(v) \cdot h'(x)

多层复合函数的例子

例子 1:求 y=sin(ln(x2+1))y = \sin(\ln(x^2 + 1)) 的导数

  • 最外层:f(u)=sinuf(u) = \sin uf(u)=cosuf'(u) = \cos u
  • 中间层:g(v)=lnvg(v) = \ln vg(v)=1vg'(v) = \frac{1}{v}
  • 最内层:h(x)=x2+1h(x) = x^2 + 1h(x)=2xh'(x) = 2x
  • 复合函数导数:y=cos(ln(x2+1))1x2+12x=2xcos(ln(x2+1))x2+1y' = \cos(\ln(x^2 + 1)) \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x\cos(\ln(x^2 + 1))}{x^2 + 1}

例子 2:求 y=esin(x3)y = e^{\sin(x^3)} 的导数

  • 最外层:f(u)=euf(u) = e^uf(u)=euf'(u) = e^u
  • 中间层:g(v)=sinvg(v) = \sin vg(v)=cosvg'(v) = \cos v
  • 最内层:h(x)=x3h(x) = x^3h(x)=3x2h'(x) = 3x^2
  • 复合函数导数:y=esin(x3)cos(x3)3x2=3x2cos(x3)esin(x3)y' = e^{\sin(x^3)} \cdot \cos(x^3) \cdot 3x^2 = 3x^2\cos(x^3)e^{\sin(x^3)}

常见复合函数求导

1. 幂函数复合

幂函数复合求导
(f(x)n)=nf(x)n1f(x)(f(x)^n)' = n \cdot f(x)^{n-1} \cdot f'(x)

例子

  • ((x2+1)3)=3(x2+1)22x=6x(x2+1)2((x^2 + 1)^3)' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2
  • (sin2x)=2sinxcosx=sin(2x)(\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot \cos x = \sin(2x)

2. 指数函数复合

指数函数复合求导
(ef(x))=ef(x)f(x)(e^{f(x)})' = e^{f(x)} \cdot f'(x)

例子

  • (ex2)=ex22x=2xex2(e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}
  • (esinx)=esinxcosx(e^{\sin x})' = e^{\sin x} \cdot \cos x

3. 对数函数复合

对数函数复合求导
(lnf(x))=f(x)f(x)(\ln f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x)}

例子

  • (ln(x2+1))=2xx2+1(\ln(x^2 + 1))' = \frac{2x}{x^2 + 1}
  • (lnsinx)=cosxsinx=cotx(\ln|\sin x|)' = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x

4. 三角函数复合

三角函数复合求导
(sinf(x))=cosf(x)f(x)(\sin f(x))' = \cos f(x) \cdot f'(x)(cosf(x))=sinf(x)f(x)(\cos f(x))' = -\sin f(x) \cdot f'(x)(tanf(x))=sec2f(x)f(x)(\tan f(x))' = \sec^2 f(x) \cdot f'(x)

例子

  • (sin(x3))=cos(x3)3x2=3x2cos(x3)(\sin(x^3))' = \cos(x^3) \cdot 3x^2 = 3x^2\cos(x^3)
  • (cos(lnx))=sin(lnx)1x=sin(lnx)x(\cos(\ln x))' = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = -\frac{\sin(\ln x)}{x}

5. 反三角函数复合

反三角函数复合求导

(arcsinf(x))=f(x)1f(x)2(\arcsin f(x))' = \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}}

(arccosf(x))=f(x)1f(x)2(\arccos f(x))' = -\frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}}

(arctanf(x))=f(x)1+f(x)2(\arctan f(x))' = \frac{f'(x)}{1 + f(x)^2}

例子

  • (arcsin(x2))=2x1x4(\arcsin(x^2))' = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}
  • (arctan(lnx))=1/x1+(lnx)2=1x(1+(lnx)2)(\arctan(\ln x))' = \frac{1/x}{1 + (\ln x)^2} = \frac{1}{x(1 + (\ln x)^2)}

练习题

练习 1

求函数 f(x)=sin(ex2)f(x) = \sin(e^{x^2}) 的导数。

参考答案

解题思路: 这是一个三层复合函数,需要逐层使用链式法则。

详细步骤

  1. 最外层:f(u)=sinuf(u) = \sin uf(u)=cosuf'(u) = \cos u
  2. 中间层:g(v)=evg(v) = e^vg(v)=evg'(v) = e^v
  3. 最内层:h(x)=x2h(x) = x^2h(x)=2xh'(x) = 2x
  4. 复合函数导数:f(x)=cos(ex2)ex22x=2xex2cos(ex2)f'(x) = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}\cos(e^{x^2})

答案f(x)=2xex2cos(ex2)f'(x) = 2xe^{x^2}\cos(e^{x^2})

练习 2

求函数 f(x)=ln(sin(x3+1))f(x) = \ln(\sin(x^3 + 1)) 的导数。

参考答案

解题思路: 这是一个三层复合函数,使用对数函数和三角函数的复合。

详细步骤

  1. 最外层:f(u)=lnuf(u) = \ln uf(u)=1uf'(u) = \frac{1}{u}
  2. 中间层:g(v)=sinvg(v) = \sin vg(v)=cosvg'(v) = \cos v
  3. 最内层:h(x)=x3+1h(x) = x^3 + 1h(x)=3x2h'(x) = 3x^2
  4. 复合函数导数:f(x)=1sin(x3+1)cos(x3+1)3x2=3x2cos(x3+1)sin(x3+1)=3x2cot(x3+1)f'(x) = \frac{1}{\sin(x^3 + 1)} \cdot \cos(x^3 + 1) \cdot 3x^2 = \frac{3x^2\cos(x^3 + 1)}{\sin(x^3 + 1)} = 3x^2\cot(x^3 + 1)

答案f(x)=3x2cot(x3+1)f'(x) = 3x^2\cot(x^3 + 1)

练习 3

求函数 f(x)=(x2+1)sinxf(x) = (x^2 + 1)^{\sin x} 的导数。

参考答案

解题思路: 这是一个幂函数复合,需要使用幂函数求导公式。

详细步骤

  1. 外层:f(u)=usinxf(u) = u^{\sin x}f(u)=sinxusinx1f'(u) = \sin x \cdot u^{\sin x - 1}
  2. 内层:g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1g(x)=2xg'(x) = 2x
  3. 复合函数导数:f(x)=sinx(x2+1)sinx12x=2xsinx(x2+1)sinx1f'(x) = \sin x \cdot (x^2 + 1)^{\sin x - 1} \cdot 2x = 2x\sin x(x^2 + 1)^{\sin x - 1}

答案f(x)=2xsinx(x2+1)sinx1f'(x) = 2x\sin x(x^2 + 1)^{\sin x - 1}

练习 4

求函数 f(x)=arcsin(ln(x2+1))f(x) = \arcsin(\ln(x^2 + 1)) 的导数。

参考答案

解题思路: 这是一个三层复合函数,包含反三角函数和对数函数。

详细步骤

  1. 最外层:f(u)=arcsinuf(u) = \arcsin uf(u)=11u2f'(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}
  2. 中间层:g(v)=lnvg(v) = \ln vg(v)=1vg'(v) = \frac{1}{v}
  3. 最内层:h(x)=x2+1h(x) = x^2 + 1h(x)=2xh'(x) = 2x
  4. 复合函数导数:f(x)=11(ln(x2+1))21x2+12x=2x(x2+1)1(ln(x2+1))2f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (\ln(x^2 + 1))^2}} \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2 + 1)\sqrt{1 - (\ln(x^2 + 1))^2}}

答案f(x)=2x(x2+1)1(ln(x2+1))2f'(x) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\sqrt{1 - (\ln(x^2 + 1))^2}}

练习 5

求函数 f(x)=esin(ln(x2+1))f(x) = e^{\sin(\ln(x^2 + 1))} 的导数。

参考答案

解题思路: 这是一个四层复合函数,需要逐层使用链式法则。

详细步骤

  1. 最外层:f(u)=euf(u) = e^uf(u)=euf'(u) = e^u
  2. 第二层:g(v)=sinvg(v) = \sin vg(v)=cosvg'(v) = \cos v
  3. 第三层:h(w)=lnwh(w) = \ln wh(w)=1wh'(w) = \frac{1}{w}
  4. 最内层:k(x)=x2+1k(x) = x^2 + 1k(x)=2xk'(x) = 2x
  5. 复合函数导数:f(x)=esin(ln(x2+1))cos(ln(x2+1))1x2+12x=2xcos(ln(x2+1))esin(ln(x2+1))x2+1f'(x) = e^{\sin(\ln(x^2 + 1))} \cdot \cos(\ln(x^2 + 1)) \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x\cos(\ln(x^2 + 1))e^{\sin(\ln(x^2 + 1))}}{x^2 + 1}

答案f(x)=2xcos(ln(x2+1))esin(ln(x2+1))x2+1f'(x) = \frac{2x\cos(\ln(x^2 + 1))e^{\sin(\ln(x^2 + 1))}}{x^2 + 1}

练习 6

改编自2022考研数学一第2题

f(u)f(u) 可导,z=xyf(yx)z=xyf\left(\frac{y}{x}\right),求 zx\frac{\partial z}{\partial x}

参考答案

解题思路: 使用复合函数的链式法则和乘积法则。

详细步骤

  1. u=yxu=\frac{y}{x},则 z=xyf(u)z=xyf(u)

  2. xx 求偏导,使用乘积法则: zx=yf(u)+xyf(u)ux\frac{\partial z}{\partial x}=yf(u)+xyf'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}

  3. 计算 ux\frac{\partial u}{\partial x}u=yxu=\frac{y}{x},所以 ux=yx2\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}

  4. 代入得到: zx=yf(yx)+xyf(yx)(yx2)\frac{\partial z}{\partial x}=yf\left(\frac{y}{x}\right)+xyf'\left(\frac{y}{x}\right)\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right) =yf(yx)y2f(yx)1x=yf\left(\frac{y}{x}\right)-y^2f'\left(\frac{y}{x}\right)\frac{1}{x}

答案zx=yf(yx)y2f(yx)1x\frac{\partial z}{\partial x}=yf\left(\frac{y}{x}\right)-y^2f'\left(\frac{y}{x}\right)\frac{1}{x}

练习 7

改编自2023考研数学一第3题

设函数 y=f(x)y=f(x) 由参数方程 {x=2t+ty=tsint\begin{cases}x=2t+|t|\\y=|t|\sin t\end{cases} 确定,求 f(0)f'(0)

参考答案

解题思路: 使用参数方程求导公式和复合函数求导。

详细步骤

  1. t0t\geq0 时,x=3t,y=tsintx=3t, y=t\sin t,所以 y=x3sinx3y=\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}

  2. t<0t<0 时,x=t,y=tsintx=t, y=-t\sin t,所以 y=xsinxy=-x\sin x

  3. 因此 f(x)={x3sinx3,x0xsinx,x<0f(x)=\begin{cases}\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}, & x\geq0\\-x\sin x, & x<0\end{cases}

  4. 计算左导数: f(0)=limx0xsinx0x=limx0sinx=0f'_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-x\sin x-0}{x}=-\lim\limits_{x\to0^-}\sin x=0

  5. 计算右导数: f+(0)=limx0+x3sinx30x=limx0+sinx33=0f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}-0}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\sin\frac{x}{3}}{3}=0

  6. 由于左导数和右导数相等,所以 f(0)=0f'(0)=0

答案f(0)=0f'(0)=0

练习 8

改编自2024考研数学一第1题

已知函数 f(x)=0xecostdtf(x)=\int_0^x e^{\cos t}dt,求 f(x)f'(x)f(x)f''(x)

参考答案

解题思路: 使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。

详细步骤

  1. 根据积分上限函数求导公式: f(x)=ecosxf'(x)=e^{\cos x}

  2. f(x)f'(x) 再次求导,使用复合函数求导: 设 u=cosxu=\cos x,则 f(x)=euf'(x)=e^u

    ddx(eu)=eududx=ecosx(sinx)=ecosxsinx\frac{d}{dx}(e^u)=e^u\cdot\frac{du}{dx}=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)=-e^{\cos x}\sin x

答案f(x)=ecosxf'(x)=e^{\cos x} f(x)=ecosxsinxf''(x)=-e^{\cos x}\sin x

练习 9

改编自2025考研数学一第1题

已知函数 f(x)=0xet2sintdtf(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt,求 f(x)f'(x)f(x)f''(x)

参考答案

解题思路: 使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。

详细步骤

  1. 根据积分上限函数求导公式: f(x)=ex2sinxf'(x) = e^{x^2} \sin x

  2. f(x)f'(x) 再次求导,使用乘积法则和复合函数求导: 设 u=ex2u = e^{x^2}v=sinxv = \sin x

    u=ex22x=2xex2u' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}(复合函数求导) v=cosxv' = \cos x

  3. 应用乘积法则: f(x)=uv+uv=2xex2sinx+ex2cosxf''(x) = u'v + uv' = 2x e^{x^2} \cdot \sin x + e^{x^2} \cdot \cos x =2xex2sinx+ex2cosx= 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x

答案f(x)=ex2sinxf'(x) = e^{x^2} \sin x f(x)=2xex2sinx+ex2cosxf''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x

练习 10

改编自2022考研数学一第17题

y=y(x)y=y(x) 满足 y+12xy=2+xy'+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}y(1)=3y(1)=3,求 y(x)y(x) 的表达式。

参考答案

解题思路: 使用一阶线性微分方程的求解方法。

详细步骤

  1. 这是一个一阶线性微分方程:y+12xy=2+xy'+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}

  2. 积分因子:μ(x)=e12xdx=ex\mu(x)=e^{\int\frac{1}{2\sqrt{x}}dx}=e^{\sqrt{x}}

  3. 方程两边乘以积分因子: exy+ex12xy=(2+x)exe^{\sqrt{x}}y'+e^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}y=(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}

  4. 左边可以写成:(exy)=(2+x)ex(e^{\sqrt{x}}y)'=(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}

  5. 积分得:exy=(2+x)exdxe^{\sqrt{x}}y=\int(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dx

  6. 计算积分:(2+x)exdx=2exdx+xexdx\int(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dx=2\int e^{\sqrt{x}}dx+\int\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}dx

  7. u=xu=\sqrt{x},则 dx=2ududx=2udu,积分变为: 2eu2udu+ueu2udu=4ueudu+2u2eudu2\int e^u\cdot2udu+\int ue^u\cdot2udu=4\int ue^udu+2\int u^2e^udu

  8. 使用分部积分法求解,最终得到: y(x)=ex(2xex+C)y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2x e^{\sqrt{x}}+C\right)

  9. y(1)=3y(1)=3,得 C=eC=e,所以: y(x)=ex(2xex+e)y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2x e^{\sqrt{x}}+e\right)

答案y(x)=ex(2xex+e)y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2x e^{\sqrt{x}}+e\right)

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