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参数方程求导

参数方程求导是微积分中的重要技巧,用于求由参数方程确定的函数的导数。

参数方程求导公式

参数方程一阶导数公式
如果 x=x(t)x = x(t)y=y(t)y = y(t),则
dydx=dy/dtdx/dt=y(t)x(t)\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)}

参数方程求导的原理

参数方程求导基于链式法则。当 xxyy 都是参数 tt 的函数时,我们有:

dydx=dydtdtdx=dydt1dx/dt=y(t)x(t)\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{dx/dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)}

基本例子

例子 1:圆的参数方程

x=costx = \cos ty=sinty = \sin t,求 dydx\frac{dy}{dx}

  • dxdt=sint\frac{dx}{dt} = -\sin tdydt=cost\frac{dy}{dt} = \cos t
  • dydx=costsint=cott\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t

例子 2:抛物线的参数方程

x=t2x = t^2y=t3y = t^3,求 dydx\frac{dy}{dx}

  • dxdt=2t\frac{dx}{dt} = 2tdydt=3t2\frac{dy}{dt} = 3t^2
  • dydx=3t22t=3t2\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}

例子 3:双曲线的参数方程

x=asectx = a \sec ty=btanty = b \tan t,求 dydx\frac{dy}{dx}

  • dxdt=asecttant\frac{dx}{dt} = a \sec t \tan tdydt=bsec2t\frac{dy}{dt} = b \sec^2 t
  • dydx=bsec2tasecttant=bsectatant=basint\frac{dy}{dx} = \frac{b \sec^2 t}{a \sec t \tan t} = \frac{b \sec t}{a \tan t} = \frac{b}{a \sin t}

参数方程的高阶导数

二阶导数公式

参数方程二阶导数公式
d2ydx2=ddx(dydx)=ddt(dydx)dtdx\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx}

二阶导数例子

例子x=costx = \cos ty=sinty = \sin t,求 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}

  1. 一阶导数:dydx=cott\frac{dy}{dx} = -\cot t
  2. 二阶导数:d2ydx2=ddt(cott)dtdx\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(-\cot t) \cdot \frac{dt}{dx}
  3. ddt(cott)=csc2t\frac{d}{dt}(-\cot t) = \csc^2 t
  4. dtdx=1dx/dt=1sint\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{-\sin t}
  5. d2ydx2=csc2t1sint=csc3t\frac{d^2y}{dx^2} = \csc^2 t \cdot \frac{1}{-\sin t} = -\csc^3 t

三阶导数公式

参数方程三阶导数公式
d3ydx3=ddt(d2ydx2)dtdx\frac{d^3y}{dx^3} = \frac{d}{dt}(\frac{d^2y}{dx^2}) \cdot \frac{dt}{dx}

参数方程求导的应用

1. 曲线的切线斜率

参数方程求导的主要应用是求曲线在某点的切线斜率。

例子:对于参数方程 x=t2x = t^2y=t3y = t^3,在 t=1t = 1 处的切线斜率

  • dydx=3t22t=3t2\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}
  • t=1t = 1 处:dydx=32\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}

2. 曲线的几何性质

通过参数方程求导可以研究曲线的几何性质,如凸凹性、拐点等。

常见错误和注意事项

1. 参数方程求导错误

错误dydx=dxdy\frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dy} 正确dydx=dy/dtdx/dt\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}

2. 高阶导数错误

错误d2ydx2=d2ydt2dtdx\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y}{dt^2} \cdot \frac{dt}{dx} 正确d2ydx2=ddt(dydx)dtdx\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx}

3. 参数范围问题

在求解过程中要注意参数 tt 的定义域,避免分母为零的情况。

4. 符号错误

在求高阶导数时,要注意符号的正确性,特别是三角函数的导数。

练习题

练习 1

求参数方程 x=t2x = t^2y=t3y = t^3 确定的函数的二阶导数。

参考答案

解题思路: 先求一阶导数,再求二阶导数。

详细步骤

  1. 一阶导数:dydx=3t22t=3t2\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}
  2. 二阶导数:d2ydx2=ddt(3t2)dtdx\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\frac{3t}{2}) \cdot \frac{dt}{dx}
  3. ddt(3t2)=32\frac{d}{dt}(\frac{3t}{2}) = \frac{3}{2}
  4. dtdx=1dx/dt=12t\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{2t}
  5. d2ydx2=3212t=34t\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2t} = \frac{3}{4t}

答案d2ydx2=34t\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{4t}

练习 2

求参数方程 x=costx = \cos ty=sinty = \sin t 确定的函数的二阶导数。

参考答案

解题思路: 先求一阶导数,再求二阶导数。

详细步骤

  1. 一阶导数:dydx=costsint=cott\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t
  2. 二阶导数:d2ydx2=ddt(cott)dtdx\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(-\cot t) \cdot \frac{dt}{dx}
  3. ddt(cott)=csc2t\frac{d}{dt}(-\cot t) = \csc^2 t
  4. dtdx=1dx/dt=1sint\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{-\sin t}
  5. d2ydx2=csc2t1sint=csc3t\frac{d^2y}{dx^2} = \csc^2 t \cdot \frac{1}{-\sin t} = -\csc^3 t

答案d2ydx2=csc3t\frac{d^2y}{dx^2} = -\csc^3 t

练习 3

求参数方程 x=etx = e^ty=t2y = t^2 确定的函数的一阶和二阶导数。

参考答案

解题思路: 先求一阶导数,再求二阶导数。

详细步骤

  1. 一阶导数:dydx=2tet\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{e^t}
  2. 二阶导数:d2ydx2=ddt(2tet)dtdx\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\frac{2t}{e^t}) \cdot \frac{dt}{dx}
  3. ddt(2tet)=2et2tete2t=2(1t)et\frac{d}{dt}(\frac{2t}{e^t}) = \frac{2e^t - 2te^t}{e^{2t}} = \frac{2(1-t)}{e^t}
  4. dtdx=1dx/dt=1et\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{e^t}
  5. d2ydx2=2(1t)et1et=2(1t)e2t\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(1-t)}{e^t} \cdot \frac{1}{e^t} = \frac{2(1-t)}{e^{2t}}

答案dydx=2tet\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{e^t}d2ydx2=2(1t)e2t\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(1-t)}{e^{2t}}

练习 4

求参数方程 x=acostx = a \cos ty=bsinty = b \sin t 确定的函数的一阶导数。

参考答案

解题思路: 使用参数方程求导公式。

详细步骤

  1. dxdt=asint\frac{dx}{dt} = -a \sin tdydt=bcost\frac{dy}{dt} = b \cos t
  2. dydx=bcostasint=bacott\frac{dy}{dx} = \frac{b \cos t}{-a \sin t} = -\frac{b}{a} \cot t

答案dydx=bacott\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} \cot t

练习 5

求参数方程 x=t+sintx = t + \sin ty=1costy = 1 - \cos t 确定的函数的一阶导数。

参考答案

解题思路: 使用参数方程求导公式。

详细步骤

  1. dxdt=1+cost\frac{dx}{dt} = 1 + \cos tdydt=sint\frac{dy}{dt} = \sin t
  2. dydx=sint1+cost=2sin(t/2)cos(t/2)2cos2(t/2)=tan(t/2)\frac{dy}{dx} = \frac{\sin t}{1 + \cos t} = \frac{2\sin(t/2)\cos(t/2)}{2\cos^2(t/2)} = \tan(t/2)

答案dydx=tan(t/2)\frac{dy}{dx} = \tan(t/2)

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