参数方程求导
参数方程求导是微积分中的重要技巧,用于求由参数方程确定的函数的导数。
参数方程求导公式
如果
x=x(t),
y=y(t),则
dxdy=dx/dtdy/dt=x′(t)y′(t)
参数方程求导的原理
参数方程求导基于链式法则。当 x 和 y 都是参数 t 的函数时,我们有:
dxdy=dtdy⋅dxdt=dtdy⋅dx/dt1=x′(t)y′(t)
基本例子
例子 1:圆的参数方程
x=cost,y=sint,求 dxdy
解:
- dtdx=−sint,dtdy=cost
- dxdy=−sintcost=−cott
例子 2:抛物线的参数方程
x=t2,y=t3,求 dxdy
解:
- dtdx=2t,dtdy=3t2
- dxdy=2t3t2=23t
例子 3:双曲线的参数方程
x=asect,y=btant,求 dxdy
解:
- dtdx=asecttant,dtdy=bsec2t
- dxdy=asecttantbsec2t=atantbsect=asintb
参数方程的高阶导数
二阶导数公式
dx2d2y=dxd(dxdy)=dtd(dxdy)⋅dxdt
二阶导数例子
例子:x=cost,y=sint,求 dx2d2y
解:
- 一阶导数:dxdy=−cott
- 二阶导数:dx2d2y=dtd(−cott)⋅dxdt
- dtd(−cott)=csc2t
- dxdt=dx/dt1=−sint1
- dx2d2y=csc2t⋅−sint1=−csc3t
三阶导数公式
dx3d3y=dtd(dx2d2y)⋅dxdt
参数方程求导的应用
1. 曲线的切线斜率
参数方程求导的主要应用是求曲线在某点的切线斜率。
例子:对于参数方程 x=t2,y=t3,在 t=1 处的切线斜率
解:
- dxdy=2t3t2=23t
- 在 t=1 处:dxdy=23
2. 曲线的几何性质
通过参数方程求导可以研究曲线的几何性质,如凸凹性、拐点等。
常见错误和注意事项
1. 参数方程求导错误
错误:dxdy=dydx
正确:dxdy=dx/dtdy/dt
2. 高阶导数错误
错误:dx2d2y=dt2d2y⋅dxdt
正确:dx2d2y=dtd(dxdy)⋅dxdt
3. 参数范围问题
在求解过程中要注意参数 t 的定义域,避免分母为零的情况。
4. 符号错误
在求高阶导数时,要注意符号的正确性,特别是三角函数的导数。
练习题
练习 1
求参数方程 x=t2,y=t3 确定的函数的二阶导数。
参考答案
解题思路:
先求一阶导数,再求二阶导数。
详细步骤:
- 一阶导数:dxdy=2t3t2=23t
- 二阶导数:dx2d2y=dtd(23t)⋅dxdt
- dtd(23t)=23
- dxdt=dx/dt1=2t1
- dx2d2y=23⋅2t1=4t3
答案:dx2d2y=4t3
练习 2
求参数方程 x=cost,y=sint 确定的函数的二阶导数。
参考答案
解题思路:
先求一阶导数,再求二阶导数。
详细步骤:
- 一阶导数:dxdy=−sintcost=−cott
- 二阶导数:dx2d2y=dtd(−cott)⋅dxdt
- dtd(−cott)=csc2t
- dxdt=dx/dt1=−sint1
- dx2d2y=csc2t⋅−sint1=−csc3t
答案:dx2d2y=−csc3t
练习 3
求参数方程 x=et,y=t2 确定的函数的一阶和二阶导数。
参考答案
解题思路:
先求一阶导数,再求二阶导数。
详细步骤:
- 一阶导数:dxdy=et2t
- 二阶导数:dx2d2y=dtd(et2t)⋅dxdt
- dtd(et2t)=e2t2et−2tet=et2(1−t)
- dxdt=dx/dt1=et1
- dx2d2y=et2(1−t)⋅et1=e2t2(1−t)
答案:dxdy=et2t,dx2d2y=e2t2(1−t)
练习 4
求参数方程 x=acost,y=bsint 确定的函数的一阶导数。
参考答案
解题思路:
使用参数方程求导公式。
详细步骤:
- dtdx=−asint,dtdy=bcost
- dxdy=−asintbcost=−abcott
答案:dxdy=−abcott
练习 5
求参数方程 x=t+sint,y=1−cost 确定的函数的一阶导数。
参考答案
解题思路:
使用参数方程求导公式。
详细步骤:
- dtdx=1+cost,dtdy=sint
- dxdy=1+costsint=2cos2(t/2)2sin(t/2)cos(t/2)=tan(t/2)
答案:dxdy=tan(t/2)