参数方程求导

参数方程求导是微积分中的重要技巧，用于求由参数方程确定的函数的导数。

参数方程求导公式

参数方程一阶导数公式

如果

x = x(t)

，

y = y(t)

，则

\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)}

原理（推导过程）：

参数方程求导基于链式法则。当 $x$ 和 $y$ 都是参数 $t$ 的函数时，我们有：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{dx/dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$

基本例子：

例子 1：圆的参数方程 $x = \cos t$ ， $y = \sin t$ ，求 $\frac{dy}{dx}$ 解：

$\frac{dx}{dt} = -\sin t$ ， $\frac{dy}{dt} = \cos t$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t$

例子 2：抛物线的参数方程 $x = t^2$ ， $y = t^3$ ，求 $\frac{dy}{dx}$ 解：

$\frac{dx}{dt} = 2t$ ， $\frac{dy}{dt} = 3t^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}$

例子 3：双曲线的参数方程 $x = a \sec t$ ， $y = b \tan t$ ，求 $\frac{dy}{dx}$ 解：

$\frac{dx}{dt} = a \sec t \tan t$ ， $\frac{dy}{dt} = b \sec^2 t$
$\frac{dy}{dx} = \frac{b \sec^2 t}{a \sec t \tan t} = \frac{b \sec t}{a \tan t} = \frac{b}{a \sin t}$

参数方程的高阶导数

二阶导数公式

参数方程二阶导数公式

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx}

二阶导数例子：

例子： $x = \cos t$ ， $y = \sin t$ ，求 $\frac{d^2y}{dx^2}$

解：

一阶导数： $\frac{dy}{dx} = -\cot t$
二阶导数： $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(-\cot t) \cdot \frac{dt}{dx}$
$\frac{d}{dt}(-\cot t) = \csc^2 t$
$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{-\sin t}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \csc^2 t \cdot \frac{1}{-\sin t} = -\csc^3 t$

三阶导数公式

参数方程三阶导数公式

\frac{d^3y}{dx^3} = \frac{d}{dt}(\frac{d^2y}{dx^2}) \cdot \frac{dt}{dx}

参数方程求导的应用

1. 曲线的切线斜率

参数方程求导的主要应用是求曲线在某点的切线斜率。

例子：对于参数方程 $x = t^2$ ， $y = t^3$ ，在 $t = 1$ 处的切线斜率

解：

$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}$
在 $t = 1$ 处： $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}$

2. 曲线的几何性质

通过参数方程求导可以研究曲线的几何性质，如凸凹性、拐点等。

常见错误和注意事项

1. 参数方程求导错误

错误： $\frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dy}$ 正确： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$

2. 高阶导数错误

错误： $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y}{dt^2} \cdot \frac{dt}{dx}$ 正确： $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx}$

3. 参数范围问题

在求解过程中要注意参数 $t$ 的定义域，避免分母为零的情况。

4. 符号错误

在求高阶导数时，要注意符号的正确性，特别是三角函数的导数。

练习题

练习 1

求参数方程 $x = t^2$ ， $y = t^3$ 确定的函数的二阶导数。

参考答案

解题思路：先求一阶导数，再求二阶导数。

详细步骤：

一阶导数： $\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}$
二阶导数： $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\frac{3t}{2}) \cdot \frac{dt}{dx}$
$\frac{d}{dt}(\frac{3t}{2}) = \frac{3}{2}$
$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{2t}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2t} = \frac{3}{4t}$

答案： $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{4t}$

练习 2

求参数方程 $x = \cos t$ ， $y = \sin t$ 确定的函数的二阶导数。

参考答案

解题思路：先求一阶导数，再求二阶导数。

详细步骤：

一阶导数： $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t$
二阶导数： $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(-\cot t) \cdot \frac{dt}{dx}$
$\frac{d}{dt}(-\cot t) = \csc^2 t$
$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{-\sin t}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \csc^2 t \cdot \frac{1}{-\sin t} = -\csc^3 t$

答案： $\frac{d^2y}{dx^2} = -\csc^3 t$

练习 3

求参数方程 $x = e^t$ ， $y = t^2$ 确定的函数的一阶和二阶导数。

参考答案

解题思路：先求一阶导数，再求二阶导数。

详细步骤：

一阶导数： $\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{e^t}$
二阶导数： $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\frac{2t}{e^t}) \cdot \frac{dt}{dx}$
$\frac{d}{dt}(\frac{2t}{e^t}) = \frac{2e^t - 2te^t}{e^{2t}} = \frac{2(1-t)}{e^t}$
$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{e^t}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(1-t)}{e^t} \cdot \frac{1}{e^t} = \frac{2(1-t)}{e^{2t}}$

答案： $\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{e^t}$ ， $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(1-t)}{e^{2t}}$

练习 4

求参数方程 $x = a \cos t$ ， $y = b \sin t$ 确定的函数的一阶导数。

参考答案

解题思路：使用参数方程求导公式。

详细步骤：

$\frac{dx}{dt} = -a \sin t$ ， $\frac{dy}{dt} = b \cos t$
$\frac{dy}{dx} = \frac{b \cos t}{-a \sin t} = -\frac{b}{a} \cot t$

答案： $\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} \cot t$

练习 5

求参数方程 $x = t + \sin t$ ， $y = 1 - \cos t$ 确定的函数的一阶导数。

参考答案

解题思路：使用参数方程求导公式。

详细步骤：

$\frac{dx}{dt} = 1 + \cos t$ ， $\frac{dy}{dt} = \sin t$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin t}{1 + \cos t} = \frac{2\sin(t/2)\cos(t/2)}{2\cos^2(t/2)} = \tan(t/2)$

答案： $\frac{dy}{dx} = \tan(t/2)$

总结

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
参数方程	parametric equation	/pærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒən/	用参数表示曲线的方程
参数方程求导	derivative of parametric equation	/dɪˈrɪvətɪv əv pærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒən/	对参数方程求导数的方法
高阶导数	higher-order derivative	/ˈhaɪə ˈɔːdə dɪˈrɪvətɪv/	函数的二阶及以上的导数

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