导数运算法则

导数的运算法则是计算复杂函数导数的重要工具。掌握这些法则，能够将复杂函数的求导问题分解为简单函数的求导问题。

和差法则

和差法则

$(u \pm v)' = u' \pm v'$

推导过程：

设 $f(x) = u(x) + v(x)$，根据导数的定义： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{[u(x + h) + v(x + h)] - [u(x) + v(x)]}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{[u(x + h) - u(x)] + [v(x + h) - v(x)]}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{u(x + h) - u(x)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{v(x + h) - v(x)}{h}$

$= u'(x) + v'(x)$

对于差的情况，类似地可以证明 $(u - v)' = u' - v'$。

解释：两个函数的和（差）的导数等于它们导数的和（差）。

例子：

• $(x^2 + 3x)' = (x^2)' + (3x)' = 2x + 3$
• $(x^3 - x^2)' = (x^3)' - (x^2)' = 3x^2 - 2x$

乘积法则

乘积法则

$(uv)' = u'v + uv'$

推导过程：

设 $f(x) = u(x)v(x)$，根据导数的定义： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{u(x + h)v(x + h) - u(x)v(x)}{h}$

添加和减去 $u(x)v(x + h)$： $= \lim_{h \to 0} \frac{u(x + h)v(x + h) - u(x)v(x + h) + u(x)v(x + h) - u(x)v(x)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{[u(x + h) - u(x)]v(x + h) + u[x](v(x + h) - v(x))}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{u(x + h) - u(x)}{h} \cdot \lim_{h \to 0} v(x + h) + u(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{v(x + h) - v(x)}{h}$

$= u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

解释：两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

记忆方法：$(uv)' = u'v + uv'$（前导后不导 + 前不导后导）

例子：

• $(x^2 \cdot \sin x)' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$
• $(e^x \cdot x)' = e^x \cdot x + e^x \cdot 1 = e^x(x + 1)$

商法则

商法则

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

推导过程：

设 $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$，根据导数的定义： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{u(x + h)}{v(x + h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h}$

通分： $= \lim_{h \to 0} \frac{u(x + h)v(x) - u(x)v(x + h)}{h \cdot v(x)v(x + h)}$

添加和减去 $u(x)v(x)$： $= \lim_{h \to 0} \frac{[u(x + h) - u(x)]v(x) - u[x](v(x + h) - v(x))}{h \cdot v(x)v(x + h)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{u(x + h) - u(x)}{h} \cdot v(x) - u(x) \cdot \frac{v(x + h) - v(x)}{h}}{v(x)v(x + h)}$

$= \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

解释：两个函数商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。

记忆方法：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$（上导下不导 - 上不导下导，除以下平方）

例子：

• $(\frac{x^2}{x+1})' = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$

链式法则

链式法则

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

推导过程：

设 $y = f(u)$ 且 $u = g(x)$，则 $y = f(g(x))$。

根据导数的定义： $\frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h}$

设 $\Delta u = g(x + h) - g(x)$，则 $g(x + h) = g(x) + \Delta u$。

当 $h \to 0$ 时，$\Delta u \to 0$（因为 $g(x)$ 连续）。

因此： $\frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta u) - f(g(x))}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta u) - f(g(x))}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{h}$

$= \lim_{\Delta u \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta u) - f(g(x))}{\Delta u} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}$

$= f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

解释：复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。

记忆方法：从外到内，逐层求导。

例子：

• $(\sin(x^2))' = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$
• $(e^{x^3})' = e^{x^3} \cdot (x^3)' = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2e^{x^3}$

练习题

练习 1

求函数 $f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$ 的导数。

参考答案

解题思路： 使用和差法则和幂函数导数公式。

详细步骤：

1. 应用和差法则： $f'(x) = (x^3)' + (2x^2)' - (5x)' + (1)'$

2. 计算各项导数： $(x^3)' = 3x^2$ $(2x^2)' = 2 \cdot 2x = 4x$ $(5x)' = 5$ $(1)' = 0$

3. 合并结果： $f'(x) = 3x^2 + 4x - 5$

答案：$f'(x) = 3x^2 + 4x - 5$

练习 2

求函数 $f(x) = x^2 \sin x$ 的导数。

参考答案

解题思路： 使用乘积法则。

详细步骤：

1. 设 $u = x^2$，$v = \sin x$

2. 计算 $u'$ 和 $v'$： $u' = 2x$ $v' = \cos x$

3. 应用乘积法则： $f'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$

4. 整理结果： $f'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x$

答案：$f'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x$

练习 3

求函数 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$ 的导数。

参考答案

解题思路： 使用商法则。

详细步骤：

1. 设 $u = x^2 + 1$，$v = x - 1$

2. 计算 $u'$ 和 $v'$： $u' = 2x$ $v' = 1$

3. 应用商法则： $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2x(x-1) - (x^2+1)(1)}{(x-1)^2}$

4. 展开计算： $= \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$

答案：$f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$

练习 4

求函数 $f(x) = \sin(x^2 + 1)$ 的导数。

参考答案

解题思路： 使用链式法则。

详细步骤：

1. 设 $u = x^2 + 1$，则 $f(x) = \sin u$

2. 计算各层导数： $\frac{df}{du} = \cos u = \cos(x^2 + 1)$ $\frac{du}{dx} = 2x$

3. 应用链式法则： $f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(x^2 + 1) \cdot 2x$

4. 整理结果： $f'(x) = 2x\cos(x^2 + 1)$

答案：$f'(x) = 2x\cos(x^2 + 1)$

练习 5

改编自2022考研数学一第1题

设 $\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x}=1$，求 $f'(1)$ 的值。

参考答案

解题思路： 利用等价无穷小的性质和链式法则。

详细步骤：

1. 由 $\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x}=1$，可得 $f(x)\sim \ln x$ 当 $x\to1$

2. 当 $x\to1$ 时，$\ln x\to0$，所以 $\lim\limits_{x\to1} f(x)=0$

3. 设 $g(x)=\frac{f(x)}{\ln x}$，则 $f(x)=g(x)\ln x$

4. 应用乘积法则： $f'(x)=g'(x)\ln x + g(x)\cdot\frac{1}{x}$

5. 当 $x\to1$ 时，$\ln x\to0$，$\frac{1}{x}\to1$，$g(x)\to1$

6. 因此 $f'(1)=\lim\limits_{x\to1} f'(x)=1$

答案：$f'(1)=1$

练习 6

改编自2023考研数学一第3题

设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x=2t+|t|\\y=|t|\sin t\end{cases}$ 确定，求 $f'(0)$。

参考答案

解题思路： 使用参数方程求导公式和链式法则。

详细步骤：

1. 当 $t\geq0$ 时，$x=3t, y=t\sin t$，所以 $y=\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}$

2. 当 $t<0$ 时，$x=t, y=-t\sin t$，所以 $y=-x\sin x$

3. 因此 $f(x)=\begin{cases}\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}, & x\geq0\\-x\sin x, & x<0\end{cases}$

4. 计算左导数： $f'_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-x\sin x-0}{x}=-\lim\limits_{x\to0^-}\sin x=0$

5. 计算右导数： $f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}-0}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\sin\frac{x}{3}}{3}=0$

6. 由于左导数和右导数相等，所以 $f'(0)=0$

答案：$f'(0)=0$

练习 7

改编自2022考研数学一第2题

设 $f(u)$ 可导，$z=xyf\left(\frac{y}{x}\right)$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

参考答案

解题思路： 使用偏导数的链式法则和乘积法则。

详细步骤：

1. 设 $u=\frac{y}{x}$，则 $z=xyf(u)$

2. 对 $x$ 求偏导： $\frac{\partial z}{\partial x}=yf(u)+xyf'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$ $=yf(u)+xyf'(u)\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right)$ $=yf\left(\frac{y}{x}\right)-y^2f'\left(\frac{y}{x}\right)\frac{1}{x}$

3. 对 $y$ 求偏导： $\frac{\partial z}{\partial y}=xf(u)+xyf'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}$ $=xf(u)+xyf'(u)\cdot\frac{1}{x}$ $=xf\left(\frac{y}{x}\right)+yf'\left(\frac{y}{x}\right)$

答案： $\frac{\partial z}{\partial x}=yf\left(\frac{y}{x}\right)-y^2f'\left(\frac{y}{x}\right)\frac{1}{x}$ $\frac{\partial z}{\partial y}=xf\left(\frac{y}{x}\right)+yf'\left(\frac{y}{x}\right)$

练习 8

改编自2023考研数学一第17题

设曲线 $y=y(x)(x>0)$ 经过点 $(1,2)$，该曲线上任一点 $P(x,y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距。求 $y(x)$。

参考答案

解题思路： 利用切线方程和截距的概念建立微分方程。

详细步骤：

1. 点 $P(x,y)$ 到 $y$ 轴的距离为 $x$

2. 点 $P(x,y)$ 处的切线方程为： $Y-y=y'(x)(X-x)$

3. 切线在 $y$ 轴上的截距为： 当 $X=0$ 时，$Y=y-xy'(x)$

4. 根据题意：$x=y-xy'(x)$

5. 整理得：$y'(x)=\frac{y-x}{x}$

6. 这是一个一阶线性微分方程： $y'(x)-\frac{1}{x}y=-1$

7. 求解得：$y(x)=x(2-\ln x)$

8. 验证 $y(1)=2$，符合条件

答案：$y(x)=x(2-\ln x)$

练习 9

改编自2024考研数学一第1题

已知函数 $f(x)=\int_0^x e^{\cos t}dt$，求 $f'(x)$ 和 $f''(x)$。

参考答案

解题思路： 使用积分上限函数求导公式和链式法则。

详细步骤：

1. 根据积分上限函数求导公式： $f'(x)=e^{\cos x}$

2. 对 $f'(x)$ 再次求导： $f''(x)=\frac{d}{dx}(e^{\cos x})=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)=-e^{\cos x}\sin x$

3. 使用链式法则： 设 $u=\cos x$，则 $f'(x)=e^u$ $\frac{d}{dx}(e^u)=e^u\cdot\frac{du}{dx}=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)$

答案： $f'(x)=e^{\cos x}$ $f''(x)=-e^{\cos x}\sin x$

练习 10

改编自2025考研数学一第1题

已知函数 $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$，求 $f'(x)$ 和 $f''(x)$。

参考答案

解题思路： 使用积分上限函数求导公式和乘积法则。

详细步骤：

1. 根据积分上限函数求导公式： $f'(x) = e^{x^2} \sin x$

2. 对 $f'(x)$ 再次求导，使用乘积法则： 设 $u = e^{x^2}$，$v = \sin x$

   $u' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$ $v' = \cos x$

3. 应用乘积法则： $f''(x) = u'v + uv' = 2x e^{x^2} \cdot \sin x + e^{x^2} \cdot \cos x$ $= 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$

答案： $f'(x) = e^{x^2} \sin x$ $f''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$