凹凸性与拐点
凹凸性与拐点
凹凸性判别法
凹凸性的定义
定义:设函数 f(x) 在区间 I 上连续,如果对于 I 内任意两点 x1,x2,都有
f(2x1+x2)≤2f(x1)+f(x2)
则称 f(x) 在 I 上是凹函数(向上凹)。
如果不等式反向,则称 f(x) 在 I 上是凸函数(向下凹)。
判别法
设函数 f(x) 在区间 I 上二阶可导,则:
- 如果 f′′(x)>0 在 I 上成立,则 f(x) 在 I 上是凹函数
- 如果 f′′(x)<0 在 I 上成立,则 f(x) 在 I 上是凸函数
拐点的定义与判别
拐点的定义
定义:如果函数 f(x) 在点 x0 处的凹凸性发生改变,则称点 (x0,f(x0)) 为拐点。
拐点的判别法
设函数 f(x) 在点 x0 处三阶可导,且 f′′(x0)=0,则:
- 如果 f′′′(x0)=0,则 (x0,f(x0)) 为拐点
- 如果 f′′′(x0)=0,需要进一步分析
拐点的充分条件
设函数 f(x) 在点 x0 的某邻域内二阶可导,且 f′′(x0)=0,则:
- 如果 f′′(x) 在 x0 的左右两侧符号相反,则 (x0,f(x0)) 为拐点
- 如果 f′′(x) 在 x0 的左右两侧符号相同,则 (x0,f(x0)) 不是拐点
应用例子
例子 1:求函数 f(x)=x3−3x2+2 的凹凸区间和拐点。
解:
- f′(x)=3x2−6x
- f′′(x)=6x−6=6(x−1)
- 令 f′′(x)=0,得 x=1
- 当 x<1 时,f′′(x)<0,函数为凸函数
- 当 x>1 时,f′′(x)>0,函数为凹函数
- f′′′(x)=6=0,所以 (1,f(1))=(1,0) 为拐点
例子 2:求函数 f(x)=x4 的凹凸性和拐点。
解:
- f′(x)=4x3
- f′′(x)=12x2
- 令 f′′(x)=0,得 x=0
- 当 x=0 时,f′′(x)>0,函数为凹函数
- f′′′(x)=24x,f′′′(0)=0
- 由于 f′′(x)≥0 对所有 x 成立,且 f′′(x) 在 x=0 处连续,所以 (0,0) 不是拐点
例子 3:求函数 f(x)=sinx 在 [0,2π] 上的凹凸区间和拐点。
解:
- f′(x)=cosx
- f′′(x)=−sinx
- 令 f′′(x)=0,得 x=0,π,2π
- 当 0<x<π 时,f′′(x)<0,函数为凸函数
- 当 π<x<2π 时,f′′(x)>0,函数为凹函数
- f′′′(x)=−cosx
- f′′′(0)=−1=0,f′′′(π)=1=0,f′′′(2π)=−1=0
- 所以 (0,0),(π,0),(2π,0) 都是拐点
凹凸性的几何意义
凹函数
- 函数图像向上弯曲
- 任意两点间的弦在函数图像下方
- 二阶导数大于零
凸函数
- 函数图像向下弯曲
- 任意两点间的弦在函数图像上方
- 二阶导数小于零
常见错误和注意事项
1. 凹凸性判断错误
错误:混淆凹凸性的定义
正确:凹函数是向上凹,凸函数是向下凹
2. 拐点判断错误
错误:认为 f′′(x0)=0 就意味着 (x0,f(x0)) 是拐点
正确:需要检查二阶导数在 x0 左右两侧的符号变化
3. 三阶导数判断错误
错误:当 f′′′(x0)=0 时直接下结论
正确:当三阶导数为零时,需要进一步分析二阶导数的符号变化
练习题
练习 1
求函数 f(x)=x3−3x2+2 的凹凸区间和拐点。
参考答案
解题思路:
求二阶导数,分析符号变化,判断拐点。
详细步骤:
- f′(x)=3x2−6x
- f′′(x)=6x−6=6(x−1)
- 令 f′′(x)=0,得 x=1
- 当 x<1 时,f′′(x)<0,函数为凸函数
- 当 x>1 时,f′′(x)>0,函数为凹函数
- f′′′(x)=6=0,所以 (1,f(1))=(1,0) 为拐点
答案:函数在 (−∞,1) 上为凸函数,在 (1,+∞) 上为凹函数,拐点为 (1,0)。
练习 2
求函数 f(x)=x4−4x3+6x2 的凹凸区间和拐点。
参考答案
解题思路:
求二阶导数,分析符号变化。
详细步骤:
- f′(x)=4x3−12x2+12x
- f′′(x)=12x2−24x+12=12(x2−2x+1)=12(x−1)2
- 令 f′′(x)=0,得 x=1
- 当 x=1 时,f′′(x)>0,函数为凹函数
- f′′′(x)=24x−24,f′′′(1)=0
- 由于 f′′(x)≥0 对所有 x 成立,(1,f(1))=(1,3) 不是拐点
答案:函数在所有区间上都是凹函数,没有拐点。
练习 3
求函数 f(x)=xx2+1 的凹凸区间和拐点。
参考答案
解题思路:
求二阶导数,分析符号变化。
详细步骤:
- f′(x)=x2x2−1
- f′′(x)=x32
- 当 x<0 时,f′′(x)<0,函数为凸函数
- 当 x>0 时,f′′(x)>0,函数为凹函数
- 在 x=0 处函数无定义,所以没有拐点
答案:函数在 (−∞,0) 上为凸函数,在 (0,+∞) 上为凹函数,没有拐点。
练习 4
改编自2025考研数学一第1题
已知函数 f(x)=∫0xet2sintdt,g(x)=∫0xet2dt⋅sin2x,判断 x=0 是否为 f(x) 的拐点,是否为 g(x) 的拐点。
参考答案
解题思路:
分别对 f(x) 和 g(x) 求导,判断 x=0 是否为拐点。
详细步骤:
-
对 f(x) 求导:
- f′(x)=ex2sinx
- f′′(x)=2xex2sinx+ex2cosx
- f′′(0)=1>0,所以 x=0 不是 f(x) 的拐点
-
对 g(x) 求导:
- g′(x)=ex2sin2x+sin2x∫0xet2dt
- g′′(x)=2xex2sin2x+ex2sin2x+2cos2x∫0xet2dt+sin2xex2
- g′(0)=0,g′′(0)=0,g′′′(0)>0,所以 x=0 是 g(x) 的拐点
答案:x=0 不是 f(x) 的拐点,是 g(x) 的拐点。
练习 5
改编自2024考研数学一第19题
设函数 f(x) 具有二阶导数,且 f′(0)=f′(1),∣f′′(x)∣≤1。证明:当 x∈(0,1) 时,∣f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x∣≤2x(1−x)。
参考答案
解题思路:
利用泰勒公式和二阶导数的有界性证明不等式。
详细步骤:
-
利用泰勒公式:
将函数 f(x) 在 x=0 处和 x=1 处用泰勒公式展开:
f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(ξ1)x2,ξ1∈(0,x)
f(x)=f(1)+f′(1)(x−1)+2!f′′(ξ2)(x−1)2,ξ2∈(x,1)
-
利用条件:
注意到 f′(0)=f′(1),由两式相加可得:
f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x=2!f′′(ξ1)x(1−x)+2!f′′(ξ2)x(x−1)
-
完成证明:
因为 ∣f′′(x)∣≤1,所以:
∣f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x∣≤21x(1−x)+21x(1−x)=2x(1−x)
答案:证明完成。
练习 6
改编自2023考研数学一第20题
设函数 f(x) 在 [−a,a] 上具有二阶连续导数,且 f(x) 在 (−a,a) 内取极值。证明:存在 η∈(−a,a),使得 ∣f′′(η)∣≥2a21∣f(a)−f(−a)∣。
参考答案
解题思路:
利用泰勒公式和极值点性质证明不等式。
详细步骤:
-
利用极值点性质:
设 f(x) 在 x0∈(−a,a) 取极值,则 f′(x0)=0。
-
利用泰勒公式:
f(−a)=f(x0)+2!f′′(γ1)(−a−x0)2,−a<γ1<x0
f(a)=f(x0)+2!f′′(γ2)(a−x0)2,x0<γ2<a
-
完成证明:
两式相减得:
f(a)−f(−a)=21[(a−x0)2f′′(γ2)−(a+x0)2f′′(γ1)]
由 ∣f′′(x)∣ 连续,设 M=max{∣f′′(γ1)∣,∣f′′(γ2)∣},则:
∣f(a)−f(−a)∣≤21M[(a−x0)2+(a+x0)2]=M(a2+x02)
当 x0∈(−a,a) 时,∣f(a)−f(−a)∣≤2Ma2,即存在 η∈(−a,a),使得 ∣f′′(η)∣≥2a21∣f(a)−f(−a)∣。
答案:证明完成。
练习 7
改编自2022考研数学一第20题
设函数 f(x) 在 [a,b] 上具有二阶连续导数,且 f′′(x)≥0。证明:对任意 x∈(a,b),有
f(x)≥f(a)+b−af(b)−f(a)(x−a)
参考答案
解题思路:
利用函数的凸性性质和泰勒公式进行证明。
详细步骤:
-
利用泰勒公式:
对任意 x∈(a,b),在 a 点展开到二阶:
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2f′′(ξ)(x−a)2
其中 ξ∈(a,x)
-
利用凸性条件:
由于 f′′(x)≥0,所以 f′′(ξ)≥0,因此:
f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)
-
利用拉格朗日中值定理:
在 [a,b] 上应用拉格朗日中值定理:
f′(a)=b−af(b)−f(a)−2f′′(η)(b−a)
其中 η∈(a,b)
-
完成证明:
由于 f′′(η)≥0,所以:
f′(a)≤b−af(b)−f(a)
代入不等式得:
f(x)≥f(a)+b−af(b)−f(a)(x−a)
答案:证明完成。