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凹凸性与拐点

凹凸性与拐点

凹凸性判别法

凹凸性的定义

定义:设函数 f(x)f(x) 在区间 II 上连续,如果对于 II 内任意两点 x1,x2x_1, x_2,都有

f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}

则称 f(x)f(x)II 上是凹函数(向上凹)。

如果不等式反向,则称 f(x)f(x)II 上是凸函数(向下凹)。

判别法

设函数 f(x)f(x) 在区间 II 上二阶可导,则:

  1. 如果 f(x)>0f''(x) > 0II 上成立,则 f(x)f(x)II 上是凹函数
  2. 如果 f(x)<0f''(x) < 0II 上成立,则 f(x)f(x)II 上是凸函数

拐点的定义与判别

拐点的定义

定义:如果函数 f(x)f(x) 在点 x0x_0 处的凹凸性发生改变,则称点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) 为拐点。

拐点的判别法

设函数 f(x)f(x) 在点 x0x_0 处三阶可导,且 f(x0)=0f''(x_0) = 0,则:

  1. 如果 f(x0)0f'''(x_0) \neq 0,则 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) 为拐点
  2. 如果 f(x0)=0f'''(x_0) = 0,需要进一步分析

拐点的充分条件

设函数 f(x)f(x) 在点 x0x_0 的某邻域内二阶可导,且 f(x0)=0f''(x_0) = 0,则:

  1. 如果 f(x)f''(x)x0x_0 的左右两侧符号相反,则 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) 为拐点
  2. 如果 f(x)f''(x)x0x_0 的左右两侧符号相同,则 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) 不是拐点

应用例子

例子 1:求函数 f(x)=x33x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 的凹凸区间和拐点。

  • f(x)=3x26xf'(x) = 3x^2 - 6x
  • f(x)=6x6=6(x1)f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)
  • f(x)=0f''(x) = 0,得 x=1x = 1
  • x<1x < 1 时,f(x)<0f''(x) < 0,函数为凸函数
  • x>1x > 1 时,f(x)>0f''(x) > 0,函数为凹函数
  • f(x)=60f'''(x) = 6 \neq 0,所以 (1,f(1))=(1,0)(1, f(1)) = (1, 0) 为拐点

例子 2:求函数 f(x)=x4f(x) = x^4 的凹凸性和拐点。

  • f(x)=4x3f'(x) = 4x^3
  • f(x)=12x2f''(x) = 12x^2
  • f(x)=0f''(x) = 0,得 x=0x = 0
  • x0x \neq 0 时,f(x)>0f''(x) > 0,函数为凹函数
  • f(x)=24xf'''(x) = 24xf(0)=0f'''(0) = 0
  • 由于 f(x)0f''(x) \geq 0 对所有 xx 成立,且 f(x)f''(x)x=0x = 0 处连续,所以 (0,0)(0, 0) 不是拐点

例子 3:求函数 f(x)=sinxf(x) = \sin x[0,2π][0, 2\pi] 上的凹凸区间和拐点。

  • f(x)=cosxf'(x) = \cos x
  • f(x)=sinxf''(x) = -\sin x
  • f(x)=0f''(x) = 0,得 x=0,π,2πx = 0, \pi, 2\pi
  • 0<x<π0 < x < \pi 时,f(x)<0f''(x) < 0,函数为凸函数
  • π<x<2π\pi < x < 2\pi 时,f(x)>0f''(x) > 0,函数为凹函数
  • f(x)=cosxf'''(x) = -\cos x
  • f(0)=10f'''(0) = -1 \neq 0f(π)=10f'''(\pi) = 1 \neq 0f(2π)=10f'''(2\pi) = -1 \neq 0
  • 所以 (0,0)(0, 0)(π,0)(\pi, 0)(2π,0)(2\pi, 0) 都是拐点

凹凸性的几何意义

凹函数

  • 函数图像向上弯曲
  • 任意两点间的弦在函数图像下方
  • 二阶导数大于零

凸函数

  • 函数图像向下弯曲
  • 任意两点间的弦在函数图像上方
  • 二阶导数小于零

常见错误和注意事项

1. 凹凸性判断错误

错误:混淆凹凸性的定义 正确:凹函数是向上凹,凸函数是向下凹

2. 拐点判断错误

错误:认为 f(x0)=0f''(x_0) = 0 就意味着 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) 是拐点 正确:需要检查二阶导数在 x0x_0 左右两侧的符号变化

3. 三阶导数判断错误

错误:当 f(x0)=0f'''(x_0) = 0 时直接下结论 正确:当三阶导数为零时,需要进一步分析二阶导数的符号变化


练习题

练习 1

求函数 f(x)=x33x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 的凹凸区间和拐点。

参考答案

解题思路: 求二阶导数,分析符号变化,判断拐点。

详细步骤

  1. f(x)=3x26xf'(x) = 3x^2 - 6x
  2. f(x)=6x6=6(x1)f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)
  3. f(x)=0f''(x) = 0,得 x=1x = 1
  4. x<1x < 1 时,f(x)<0f''(x) < 0,函数为凸函数
  5. x>1x > 1 时,f(x)>0f''(x) > 0,函数为凹函数
  6. f(x)=60f'''(x) = 6 \neq 0,所以 (1,f(1))=(1,0)(1, f(1)) = (1, 0) 为拐点

答案:函数在 (,1)(-\infty, 1) 上为凸函数,在 (1,+)(1, +\infty) 上为凹函数,拐点为 (1,0)(1, 0)

练习 2

求函数 f(x)=x44x3+6x2f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 的凹凸区间和拐点。

参考答案

解题思路: 求二阶导数,分析符号变化。

详细步骤

  1. f(x)=4x312x2+12xf'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x
  2. f(x)=12x224x+12=12(x22x+1)=12(x1)2f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x^2 - 2x + 1) = 12(x-1)^2
  3. f(x)=0f''(x) = 0,得 x=1x = 1
  4. x1x \neq 1 时,f(x)>0f''(x) > 0,函数为凹函数
  5. f(x)=24x24f'''(x) = 24x - 24f(1)=0f'''(1) = 0
  6. 由于 f(x)0f''(x) \geq 0 对所有 xx 成立,(1,f(1))=(1,3)(1, f(1)) = (1, 3) 不是拐点

答案:函数在所有区间上都是凹函数,没有拐点。

练习 3

求函数 f(x)=x2+1xf(x) = \frac{x^2 + 1}{x} 的凹凸区间和拐点。

参考答案

解题思路: 求二阶导数,分析符号变化。

详细步骤

  1. f(x)=x21x2f'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}
  2. f(x)=2x3f''(x) = \frac{2}{x^3}
  3. x<0x < 0 时,f(x)<0f''(x) < 0,函数为凸函数
  4. x>0x > 0 时,f(x)>0f''(x) > 0,函数为凹函数
  5. x=0x = 0 处函数无定义,所以没有拐点

答案:函数在 (,0)(-\infty, 0) 上为凸函数,在 (0,+)(0, +\infty) 上为凹函数,没有拐点。

练习 4

改编自2025考研数学一第1题

已知函数 f(x)=0xet2sintdtf(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dtg(x)=0xet2dtsin2xg(x) = \int_0^x e^{t^2} dt \cdot \sin^2 x,判断 x=0x = 0 是否为 f(x)f(x) 的拐点,是否为 g(x)g(x) 的拐点。

参考答案

解题思路: 分别对 f(x)f(x)g(x)g(x) 求导,判断 x=0x = 0 是否为拐点。

详细步骤

  1. f(x)f(x) 求导

    • f(x)=ex2sinxf'(x) = e^{x^2} \sin x
    • f(x)=2xex2sinx+ex2cosxf''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x
    • f(0)=1>0f''(0) = 1 > 0,所以 x=0x = 0 不是 f(x)f(x) 的拐点
  2. g(x)g(x) 求导

    • g(x)=ex2sin2x+sin2x0xet2dtg'(x) = e^{x^2} \sin^2 x + \sin 2x \int_0^x e^{t^2} dt
    • g(x)=2xex2sin2x+ex2sin2x+2cos2x0xet2dt+sin2xex2g''(x) = 2x e^{x^2} \sin^2 x + e^{x^2} \sin 2x + 2\cos 2x \int_0^x e^{t^2} dt + \sin 2x e^{x^2}
    • g(0)=0g'(0) = 0g(0)=0g''(0) = 0g(0)>0g'''(0) > 0,所以 x=0x = 0g(x)g(x) 的拐点

答案x=0x = 0 不是 f(x)f(x) 的拐点,是 g(x)g(x) 的拐点。

练习 5

改编自2024考研数学一第19题

设函数 f(x)f(x) 具有二阶导数,且 f(0)=f(1)f'(0) = f'(1)f(x)1|f''(x)| \leq 1。证明:当 x(0,1)x \in (0,1) 时,f(x)f(0)(1x)f(1)xx(1x)2|f(x) - f(0)(1-x) - f(1)x| \leq \frac{x(1-x)}{2}

参考答案

解题思路: 利用泰勒公式和二阶导数的有界性证明不等式。

详细步骤

  1. 利用泰勒公式: 将函数 f(x)f(x)x=0x = 0 处和 x=1x = 1 处用泰勒公式展开: f(x)=f(0)+f(0)x+f(ξ1)2!x2,ξ1(0,x)f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(\xi_1)}{2!}x^2, \quad \xi_1 \in (0,x) f(x)=f(1)+f(1)(x1)+f(ξ2)2!(x1)2,ξ2(x,1)f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(\xi_2)}{2!}(x-1)^2, \quad \xi_2 \in (x,1)

  2. 利用条件: 注意到 f(0)=f(1)f'(0) = f'(1),由两式相加可得: f(x)f(0)(1x)f(1)x=f(ξ1)2!x(1x)+f(ξ2)2!x(x1)f(x) - f(0)(1-x) - f(1)x = \frac{f''(\xi_1)}{2!}x(1-x) + \frac{f''(\xi_2)}{2!}x(x-1)

  3. 完成证明: 因为 f(x)1|f''(x)| \leq 1,所以: f(x)f(0)(1x)f(1)x12x(1x)+12x(1x)=x(1x)2|f(x) - f(0)(1-x) - f(1)x| \leq \frac{1}{2}x(1-x) + \frac{1}{2}x(1-x) = \frac{x(1-x)}{2}

答案:证明完成。

练习 6

改编自2023考研数学一第20题

设函数 f(x)f(x)[a,a][-a,a] 上具有二阶连续导数,且 f(x)f(x)(a,a)(-a,a) 内取极值。证明:存在 η(a,a)\eta \in (-a,a),使得 f(η)12a2f(a)f(a)|f''(\eta)| \geq \frac{1}{2a^2}|f(a) - f(-a)|

参考答案

解题思路: 利用泰勒公式和极值点性质证明不等式。

详细步骤

  1. 利用极值点性质: 设 f(x)f(x)x0(a,a)x_0 \in (-a,a) 取极值,则 f(x0)=0f'(x_0) = 0

  2. 利用泰勒公式f(a)=f(x0)+f(γ1)2!(ax0)2,a<γ1<x0f(-a) = f(x_0) + \frac{f''(\gamma_1)}{2!}(-a-x_0)^2, \quad -a < \gamma_1 < x_0 f(a)=f(x0)+f(γ2)2!(ax0)2,x0<γ2<af(a) = f(x_0) + \frac{f''(\gamma_2)}{2!}(a-x_0)^2, \quad x_0 < \gamma_2 < a

  3. 完成证明: 两式相减得: f(a)f(a)=12[(ax0)2f(γ2)(a+x0)2f(γ1)]f(a) - f(-a) = \frac{1}{2}[(a-x_0)^2f''(\gamma_2) - (a+x_0)^2f''(\gamma_1)]

    f(x)|f''(x)| 连续,设 M=max{f(γ1),f(γ2)}M = \max\{|f''(\gamma_1)|, |f''(\gamma_2)|\},则: f(a)f(a)12M[(ax0)2+(a+x0)2]=M(a2+x02)|f(a) - f(-a)| \leq \frac{1}{2}M[(a-x_0)^2 + (a+x_0)^2] = M(a^2 + x_0^2)

    x0(a,a)x_0 \in (-a,a) 时,f(a)f(a)2Ma2|f(a) - f(-a)| \leq 2Ma^2,即存在 η(a,a)\eta \in (-a,a),使得 f(η)12a2f(a)f(a)|f''(\eta)| \geq \frac{1}{2a^2}|f(a) - f(-a)|

答案:证明完成。

练习 7

改编自2022考研数学一第20题

设函数 f(x)f(x)[a,b][a,b] 上具有二阶连续导数,且 f(x)0f''(x) \geq 0。证明:对任意 x(a,b)x \in (a,b),有 f(x)f(a)+f(b)f(a)ba(xa)f(x) \geq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)

参考答案

解题思路: 利用函数的凸性性质和泰勒公式进行证明。

详细步骤

  1. 利用泰勒公式: 对任意 x(a,b)x \in (a,b),在 aa 点展开到二阶: f(x)=f(a)+f(a)(xa)+f(ξ)2(xa)2f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(\xi)}{2}(x - a)^2 其中 ξ(a,x)\xi \in (a,x)

  2. 利用凸性条件: 由于 f(x)0f''(x) \geq 0,所以 f(ξ)0f''(\xi) \geq 0,因此: f(x)f(a)+f(a)(xa)f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)

  3. 利用拉格朗日中值定理: 在 [a,b][a,b] 上应用拉格朗日中值定理: f(a)=f(b)f(a)baf(η)2(ba)f'(a) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} - \frac{f''(\eta)}{2}(b - a) 其中 η(a,b)\eta \in (a,b)

  4. 完成证明: 由于 f(η)0f''(\eta) \geq 0,所以: f(a)f(b)f(a)baf'(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} 代入不等式得: f(x)f(a)+f(b)f(a)ba(xa)f(x) \geq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)

答案:证明完成。

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