导数与微分的基本概念

导数是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。理解导数的概念对于学习微积分具有重要意义。

导数的定义

定义：设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若极限

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

存在，则称该极限为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$ 或 $\frac{dy}{dx}\bigg|_{x_0}$ 。

导数也可以用以下等价形式定义：

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

或

f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

左导数： $f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

右导数： $f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

函数在 $x_0$ 处可导，当且仅当左导数和右导数都存在且相等。

定理：如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处必连续。

证明思路：

例子：函数 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处连续但不可导。

分析：

定义：若函数 $f(x)$ 在 $x$ 处可导，则 $df = f'(x)dx$ ，其中 $df$ 称为 $f(x)$ 在 $x$ 处的微分。

$df = f'(x)dx$

其中：

微分 $df$ 表示函数在 $x$ 处的线性近似，这实际上是切线提供的线性近似。关于微分的几何意义和切线的应用，请参考：导数的几何意义。

导数的应用非常广泛，包括几何应用（如切线、法线、单调性、极值等）和物理应用。关于导数的几何应用，请参考：导数的几何意义；关于导数的物理应用，请参考：导数的物理意义。