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一元函数微分学

导数的基本概念

导数是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。

瞬时变化率

在日常生活中，我们经常需要描述事物变化的快慢。例如：

  • 汽车的速度：描述位置随时间变化的快慢
  • 温度的升降：描述温度随时间变化的快慢
  • 股票价格：描述价格随时间变化的快慢

这些都是变化率的例子。但是，当我们说”此时此刻汽车的速度是 60 公里/小时”时，我们指的是什么呢？

平均变化率 vs 瞬时变化率

平均变化率：在一段时间间隔内，函数值的变化量与自变量变化量的比值。

平均变化率=ΔyΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx\text{平均变化率} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

瞬时变化率：当时间间隔趋近于零时，平均变化率的极限值。这就是导数的本质。

瞬时变化率=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f′(x0)\text{瞬时变化率} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)

几何意义

从几何角度看，瞬时变化率就是函数曲线在某一点的切线斜率。下面的交互式图表展示了函数 f(x)=x2f(x) = x^2 在不同点的切线：

x = 1.0
函数值
f(1.0) = 1.00
瞬时变化率（导数）
f'(1.0) = 2.00
📊 观察要点：
蓝色曲线是函数 f(x) = x² 的图像
橙色虚线是在选定点的切线
红色点是切点，标签显示了该点的坐标和切线斜率（即瞬时变化率）
拖动滑块可以看到，随着 x 的变化，切线的斜率也在变化

基本定义

导数的定义

设函数 y=f(x)y = f(x) 在点 x0x_0 的某邻域内有定义，若极限

lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

存在，则称该极限为 f(x)f(x) 在 x0x_0 处的导数，记作 f′(x0)f'(x_0) 或 dydx∣x0\frac{dy}{dx}\bigg|_{x_0}。

深入理解符号 dd

你可能会好奇，为什么导数记作 dydx\frac{dy}{dx}？这里的 dd 是什么意思？

  • Δ\Delta (Delta)：表示有限的增量。例如 Δx=0.1\Delta x = 0.1。
  • dd (Differential)：表示无穷小的增量，称为微分。

我们可以把 dxdx 看作是当 Δx\Delta x 趋近于 0 时的 Δx\Delta x。同理，dydy 是对应的 yy 的变化量。

直观理解：

  • ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x} 是割线的斜率。
  • dydx\frac{dy}{dx} 是切线的斜率。

下面的图示展示了 Δy\Delta y（实际增量）和 dydy（线性近似增量）的区别：

Δx = 1.00
Δy (Delta y)：函数值的实际变化量 (曲线上的高度差)
dy (微分 y)：切线上的变化量 (线性近似)
💡 观察：当 Δx 变得很小很小时，Δy 和 dy 几乎重合。这就是为什么我们可以用 dy/dx 来表示导数。

当 Δx\Delta x 变得非常非常小（趋近于 0）时，Δy\Delta y 和 dydy 就会变得几乎一样，这时候割线就变成了切线。因此，导数 dydx\frac{dy}{dx} 形象地表达了”微小的 yy 增量除以微小的 xx 增量”。

等价定义

导数也可以用以下等价形式定义：

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

或

f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

单侧导数

左导数：f−′(x0)=lim⁡h→0−f(x0+h)−f(x0)hf'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

右导数：f+′(x0)=lim⁡h→0+f(x0+h)−f(x0)hf'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

函数在 x0x_0 处可导，当且仅当左导数和右导数都存在且相等。

可导性与连续性

定理

如果函数 f(x)f(x) 在 x0x_0 处可导，则 f(x)f(x) 在 x0x_0 处必连续。

证明
  1. 函数可导意味着差商极限 lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} 存在；
  2. 将上述极限乘以 hh 并令 h→0h \to 0，即可推出 f(x0+h)→f(x0)f(x_0 + h) \to f(x_0)，即在该点连续；
  3. 反过来，连续并不意味着可导，如绝对值函数在零点的情况。

反例

例子：函数 f(x)=∣x∣f(x) = |x| 在 x=0x = 0 处连续但不可导。

分析：

  • 函数在 x=0x = 0 处连续：lim⁡x→0∣x∣=0=f(0)\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)
  • 但不可导：左导数 f−′(0)=−1f'_-(0) = -1，右导数 f+′(0)=1f'_+(0) = 1，不相等

其他反例

  1. 尖点：f(x)=x3f(x) = \sqrt[3]{x} 在 x=0x = 0 处连续但不可导
  2. 振荡函数：某些振荡函数在特定点连续但不可导

练习题

练习 1：利用定义求导

利用导数的定义，求函数 f(x)=3x2+1f(x) = 3x^2 + 1 在 x=1x = 1 处的导数。

参考答案

解题思路： 根据导数的定义 f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} 进行计算。

详细步骤：

  1. 计算 f(1)f(1)： f(1)=3(1)2+1=4f(1) = 3(1)^2 + 1 = 4

  2. 计算 f(1+Δx)f(1 + \Delta x)： f(1+Δx)=3(1+Δx)2+1=3(1+2Δx+(Δx)2)+1=3+6Δx+3(Δx)2+1=4+6Δx+3(Δx)2f(1 + \Delta x) = 3(1 + \Delta x)^2 + 1 = 3(1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2) + 1 = 3 + 6\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 1 = 4 + 6\Delta x + 3(\Delta x)^2

  3. 计算增量 Δy=f(1+Δx)−f(1)\Delta y = f(1 + \Delta x) - f(1)： Δy=(4+6Δx+3(Δx)2)−4=6Δx+3(Δx)2\Delta y = (4 + 6\Delta x + 3(\Delta x)^2) - 4 = 6\Delta x + 3(\Delta x)^2

  4. 计算比值 ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}： ΔyΔx=6Δx+3(Δx)2Δx=6+3Δx\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6\Delta x + 3(\Delta x)^2}{\Delta x} = 6 + 3\Delta x

  5. 求极限： f′(1)=lim⁡Δx→0(6+3Δx)=6f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} (6 + 3\Delta x) = 6

答案：f′(1)=6f'(1) = 6

练习 2：切线方程

求曲线 y=x2y = x^2 在点 (2,4)(2, 4) 处的切线方程。

参考答案

解题思路： 切线的斜率即为函数在该点的导数值。求出斜率后，利用点斜式方程写出切线方程。

详细步骤：

  1. 求导数 f′(x)f'(x)： 对于 f(x)=x2f(x) = x^2，根据导数定义或公式可知 f′(x)=2xf'(x) = 2x。

  2. 计算切点处的斜率 kk： 在 x=2x = 2 处，斜率 k=f′(2)=2×2=4k = f'(2) = 2 \times 2 = 4。

  3. 写出切线方程： 利用点斜式 y−y0=k(x−x0)y - y_0 = k(x - x_0)，其中 (x0,y0)=(2,4)(x_0, y_0) = (2, 4)， k=4k = 4。 y−4=4(x−2)y - 4 = 4(x - 2) y−4=4x−8y - 4 = 4x - 8 y=4x−4y = 4x - 4

答案：切线方程为 y=4x−4y = 4x - 4。

练习 3：可导性判断

讨论函数 f(x)=∣x−1∣f(x) = |x - 1| 在 x=1x = 1 处的可导性。

参考答案

解题思路： 计算函数在 x=1x = 1 处的左导数和右导数。如果左右导数存在且相等，则可导；否则不可导。

详细步骤：

  1. 定义左导数： f−′(1)=lim⁡h→0−f(1+h)−f(1)hf'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} 当 h<0h < 0 时，1+h<11 + h < 1，所以 f(1+h)=∣(1+h)−1∣=∣h∣=−hf(1+h) = |(1+h) - 1| = |h| = -h（因为 hh 是负数）。 且 f(1)=∣1−1∣=0f(1) = |1 - 1| = 0。 f−′(1)=lim⁡h→0−−h−0h=−1f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = -1

  2. 定义右导数： f+′(1)=lim⁡h→0+f(1+h)−f(1)hf'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} 当 h>0h > 0 时，1+h>11 + h > 1，所以 f(1+h)=∣(1+h)−1∣=∣h∣=hf(1+h) = |(1+h) - 1| = |h| = h。 f+′(1)=lim⁡h→0+h−0h=1f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = 1

  3. 结论： 因为 f−′(1)=−1≠f+′(1)=1f'_-(1) = -1 \neq f'_+(1) = 1，即左导数不等于右导数。

答案：函数 f(x)=∣x−1∣f(x) = |x - 1| 在 x=1x = 1 处不可导。几何上，该点是一个尖点。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
Δ\Delta希腊字母Delta（德尔塔）表示变量的增量或变化量

中英对照

中文术语英文术语音标说明
导数derivative/dɪˈrɪvətɪv/函数在某一点的瞬时变化率
可导differentiable/dɪfəˈrenʃəbl/函数在某点存在导数
左导数left derivative/left dɪˈrɪvətɪv/函数在某点左侧的导数
右导数right derivative/raɪt dɪˈrɪvətɪv/函数在某点右侧的导数
连续continuous/kənˈtɪnjuəs/函数在某点处连续
单调递增monotonically increasing/mɒnəˈtɒnɪkli ɪnˈkriːsɪŋ/函数值随自变量增大而增大
单调递减monotonically decreasing/mɒnəˈtɒnɪkli dɪˈkriːsɪŋ/函数值随自变量增大而减小
极值extremum/ɪkˈstriːməm/函数在某点的极大值或极小值
必要条件necessary condition/nəˈsesəri kənˈdɪʃən/某个结论成立必须满足的条件
充分条件sufficient condition/səˈfɪʃənt kənˈdɪʃən/某个结论成立的充分保证
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