莱布尼茨发现导数的过程

问题的发现

想象你是 1675 年的戈特弗里德·威廉·莱布尼茨，年仅 29 岁，正在德国汉诺威担任宫廷顾问。

你是一位对几何学充满热情的数学家，经常研究各种曲线和图形。有一天，你遇到了一个困扰已久的几何问题：

如何求任意曲线在任意点的切线？

你开始思考：对于简单的直线，切线就是它本身；但对于复杂的曲线，比如抛物线、椭圆，切线的方向在每一点都不同。

你决定从最简单的例子开始研究。

实验一：研究抛物线的切线

你选择最简单的抛物线 $y = x^2$ 作为研究对象。

你发现，这条曲线在不同点的切线方向确实不同：

点坐标	切线方向（估计）
(0,0)	水平（0°）
(1,1)	向上倾斜
(2,4)	更陡峭的向上
(-1,1)	向下倾斜

你开始思考：这些切线方向的变化有什么规律？

实验二：用割线近似切线

你想到一个巧妙的方法：用割线来近似切线。

方法：在曲线上取两个点，连接它们得到割线。当两个点越来越接近时，割线越来越接近切线。

你选择点 $(1,1)$ 作为固定点，然后选择不同的第二个点：

割线 1：连接 $(1,1)$ 和 $(2,4)$

斜率： $\frac{4-1}{2-1} = 3$

割线 2：连接 $(1,1)$ 和 $(1.5,2.25)$

斜率： $\frac{2.25-1}{1.5-1} = \frac{1.25}{0.5} = 2.5$

割线 3：连接 $(1,1)$ 和 $(1.1,1.21)$

斜率： $\frac{1.21-1}{1.1-1} = \frac{0.21}{0.1} = 2.1$

割线 4：连接 $(1,1)$ 和 $(1.01,1.0201)$

斜率： $\frac{1.0201-1}{1.01-1} = \frac{0.0201}{0.01} = 2.01$

你发现，当第二个点越来越接近 $(1,1)$ 时，割线的斜率越来越接近 $2$ 。

数学突破：微分法的诞生

你开始用数学语言来描述这个过程。

对于函数 $y = x^2$ ，你想求在点 $(x, x^2)$ 处的切线斜率。

你考虑一个很小的增量 $\Delta x$ ，计算从 $(x, x^2)$ 到 $(x + \Delta x, (x + \Delta x)^2)$ 的割线斜率：

$\text{割线斜率} = \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{(x + \Delta x) - x}$

展开计算：

$\text{割线斜率} = \frac{x^2 + 2x\Delta x + \Delta x^2 - x^2}{\Delta x}$

$\text{割线斜率} = \frac{2x\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x}$

$\text{割线斜率} = 2x + \Delta x$

你发现，当 $\Delta x$ 越来越小时， $\Delta x$ 这一项越来越接近 0。

因此，切线斜率就是：

$\text{切线斜率} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x$

微分符号的发明

你意识到，这个过程可以应用到任何函数。

对于函数 $y = f(x)$ ，在点 $x$ 处的切线斜率定义为：

$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

你发明了一套完整的符号系统：

微分符号：

$dx$ ： $x$ 的微分（无穷小增量）
$dy$ ： $y$ 的微分（对应的无穷小增量）
$\frac{dy}{dx}$ ： $y$ 对 $x$ 的导数（切线斜率）

核心思想：

将 $dx$ 和 $dy$ 看作无穷小量
$\frac{dy}{dx}$ 表示这两个无穷小量的比值
这个比值就是切线的斜率

几何意义的深化

你开始深入思考这个过程的几何意义。

几何解释：

割线斜率 = $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ （有限增量之比）
切线斜率 = $\frac{dy}{dx}$ （无穷小增量之比）
当 $\Delta x \to 0$ 时，割线 $\to$ 切线

重要发现：

切线斜率就是函数在该点的瞬时变化率
这个变化率可以用无穷小量的比值来表示
几何直观和代数运算完美结合

验证和应用

你决定验证这个结果：

在 x=1 处：

切线斜率： $2 \times 1 = 2$
这与之前用割线计算的结果一致

在 x=2 处：

切线斜率： $2 \times 2 = 4$

你开始思考更广泛的应用：

应用一：其他曲线的切线

你发现，对于任何函数 $y = f(x)$ ，都可以用类似的方法求切线：

$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

应用二：极值问题

你发现，函数的极值点满足 $\frac{dy}{dx} = 0$ ：

极大值： $\frac{dy}{dx} = 0$ 且 $\frac{d^2y}{dx^2} < 0$ 极小值： $\frac{dy}{dx} = 0$ 且 $\frac{d^2y}{dx^2} > 0$

应用三：曲线的性质

你发现，导数可以描述曲线的各种性质：

单调性： $\frac{dy}{dx} > 0$ 表示函数递增
凸凹性： $\frac{d^2y}{dx^2} > 0$ 表示函数凸向上
拐点： $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ 可能是拐点

微分运算规则的建立

你开始建立完整的微分运算体系：

基本函数的导数

幂函数： $y = x^n$ $\frac{dy}{dx} = nx^{n-1}$

指数函数： $y = e^x$ $\frac{dy}{dx} = e^x$

对数函数： $y = \ln x$ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

三角函数：

$y = \sin x$ ： $\frac{dy}{dx} = \cos x$
$y = \cos x$ ： $\frac{dy}{dx} = -\sin x$

运算规则

和差法则： $\frac{d(u + v)}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$

乘积法则： $\frac{d(uv)}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$

商法则： $\frac{d(\frac{u}{v})}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$

链式法则： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

与积分的联系

你发现了一个重要的联系：导数和积分是互逆运算。

基本关系：

如果 $y = \int f(x)dx$ ，那么 $\frac{dy}{dx} = f(x)$
如果 $\frac{dy}{dx} = f(x)$ ，那么 $y = \int f(x)dx + C$

几何意义：

导数：切线的斜率
积分：曲线下的面积

实际应用

你开始将这个新方法应用到各种问题中：

应用一：光学问题

在研究光线折射时，你需要知道光线路径的斜率：

路径函数： $y = f(x)$
斜率： $\frac{dy}{dx}$
折射定律可以用导数来描述

应用二：力学问题

在研究物体运动时：

位置函数： $s(t)$
速度： $\frac{ds}{dt}$
加速度： $\frac{d^2s}{dt^2}$

应用三：经济学问题

在研究经济现象时：

成本函数： $C(x)$
边际成本： $\frac{dC}{dx}$
边际收益： $\frac{dR}{dx}$

符号系统的优势

你发明的符号系统具有独特的优势：

直观性：

$\frac{dy}{dx}$ 直接表达了导数是两个微分之比
符号本身就能体现几何意义

运算性：

便于进行代数运算
支持高阶导数的表示
便于积分运算的逆运算

历史传承：

继承了传统的分数符号
在物理学中广泛使用
便于国际交流

历史意义

你的发现为现代数学分析奠定了基础：

理论贡献：

建立了完整的微分运算体系
发明了直观的微分符号
建立了导数和积分的联系

应用贡献：

为几何学研究提供了工具
为物理学研究提供了方法
为经济学研究奠定了基础

教育意义：

展示了符号化的重要性
体现了几何与代数的结合
说明了数学的实用性

练习题

练习 1

用莱布尼茨的方法，计算函数 $y = x^3$ 在 $x = 2$ 处的导数。

参考答案

解题思路：使用莱布尼茨的微分法，通过极限过程计算导数。

详细步骤：

写出割线斜率： $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(x + \Delta x)^3 - x^3}{\Delta x}$
展开计算： $= \frac{x^3 + 3x^2\Delta x + 3x\Delta x^2 + \Delta x^3 - x^3}{\Delta x}$ $= \frac{3x^2\Delta x + 3x\Delta x^2 + \Delta x^3}{\Delta x}$ $= 3x^2 + 3x\Delta x + \Delta x^2$
取极限： $\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} (3x^2 + 3x\Delta x + \Delta x^2) = 3x^2$
代入 $x = 2$ ： $\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=2} = 3 \times 2^2 = 12$

答案： $\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=2} = 12$

练习 2

用莱布尼茨的符号解释为什么 $\frac{d}{dx}(x^2 + 3x) = 2x + 3$ 。

参考答案

解题思路：使用莱布尼茨的和差法则和幂函数导数公式。

详细步骤：

应用和差法则： $\frac{d}{dx}(x^2 + 3x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(3x)$
计算各项导数： $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$ （幂函数导数公式） $\frac{d}{dx}(3x) = 3\frac{d}{dx}(x) = 3 \times 1 = 3$
合并结果： $\frac{d}{dx}(x^2 + 3x) = 2x + 3$

答案：通过和差法则和基本导数公式，得到 $\frac{d}{dx}(x^2 + 3x) = 2x + 3$

练习 3

用莱布尼茨的方法证明乘积法则： $\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$ 。

参考答案

解题思路：使用莱布尼茨的微分法，通过极限过程证明乘积法则。

详细步骤：

写出 $\frac{d}{dx}(uv)$ 的定义： $\frac{d}{dx}(uv) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$
添加和减去 $u(x)v(x + \Delta x)$ ： $= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x + \Delta x) + u(x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$
重新组合： $= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[u(x + \Delta x) - u(x)]v(x + \Delta x) + u[x](v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x}$
分离极限： $= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) + u(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$
得到结果： $= \frac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \frac{dv}{dx}$

答案： $\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$