logo
简体中文

导航菜单

一元函数微分学

最大最小值

最大最小值

闭区间上的最大最小值

最值定理

定理：如果函数 f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a, b] 上连续，则 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上必有最大值和最小值。

求最大最小值的方法

步骤：

  1. 求函数在区间内的所有驻点（f′(x)=0f'(x) = 0 的点）
  2. 求函数在区间内的所有不可导点
  3. 求函数在区间端点的值
  4. 比较以上所有点的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值

应用例子

例子 1：求函数 f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 在 [−1,3][-1, 3] 上的最大最小值。

解：

  • f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)
  • 驻点：x=0,2x = 0, 2
  • f(−1)=−1−3+2=−2f(-1) = -1 - 3 + 2 = -2
  • f(0)=2f(0) = 2
  • f(2)=8−12+2=−2f(2) = 8 - 12 + 2 = -2
  • f(3)=27−27+2=2f(3) = 27 - 27 + 2 = 2
  • 最大值为 22，最小值为 −2-2

例子 2：求函数 f(x)=∣x2−4∣f(x) = |x^2 - 4| 在 [−3,3][-3, 3] 上的最大最小值。

解：

  • 当 x2−4≥0x^2 - 4 \geq 0 时，f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4
  • 当 x2−4<0x^2 - 4 < 0 时，f(x)=−(x2−4)=4−x2f(x) = -(x^2 - 4) = 4 - x^2
  • 分界点：x=±2x = \pm 2
  • 在 [−3,−2][-3, -2] 上：f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4，f′(x)=2xf'(x) = 2x
  • 在 [−2,2][-2, 2] 上：f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2，f′(x)=−2xf'(x) = -2x
  • 在 [2,3][2, 3] 上：f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4，f′(x)=2xf'(x) = 2x
  • 驻点：x=0x = 0（在 [−2,2][-2, 2] 上）
  • f(−3)=5f(-3) = 5，f(−2)=0f(-2) = 0，f(0)=4f(0) = 4，f(2)=0f(2) = 0，f(3)=5f(3) = 5
  • 最大值为 55，最小值为 00

例子 3：求函数 f(x)=x2+1xf(x) = \frac{x^2 + 1}{x} 在 [1,3][1, 3] 上的最大最小值。

解：

  • f′(x)=x2−1x2f'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}
  • 令 f′(x)=0f'(x) = 0，得 x=±1x = \pm 1，但在 [1,3][1, 3] 内只有 x=1x = 1
  • f(1)=2f(1) = 2
  • f(3)=103≈3.33f(3) = \frac{10}{3} \approx 3.33
  • 最大值为 103\frac{10}{3}，最小值为 22

开区间上的最值

方法

  1. 求函数在区间内的所有驻点
  2. 求函数在区间内的所有不可导点
  3. 求函数在区间端点的极限值
  4. 比较所有点的函数值和极限值

例子：求函数 f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} 在 (0,1](0, 1] 上的最大最小值。

解：

  • f′(x)=−1x2<0f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0，函数单调递减
  • f(1)=1f(1) = 1
  • lim⁡x→0+f(x)=+∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty
  • 最大值为 +∞+\infty（无上界），最小值为 11

条件极值

拉格朗日乘数法

定理：设函数 f(x,y)f(x, y) 和约束条件 g(x,y)=0g(x, y) = 0 在点 (x0,y0)(x_0, y_0) 的某邻域内连续可导，且 ∇g(x0,y0)≠0\nabla g(x_0, y_0) \neq 0，如果 (x0,y0)(x_0, y_0) 是 f(x,y)f(x, y) 在约束条件 g(x,y)=0g(x, y) = 0 下的极值点，则存在常数 λ\lambda，使得

∇f(x0,y0)=λ∇g(x0,y0)\nabla f(x_0, y_0) = \lambda \nabla g(x_0, y_0)

例子：求函数 f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2 在约束条件 x+y=1x + y = 1 下的最小值。

解：

  • 设拉格朗日函数 L(x,y,λ)=x2+y2−λ(x+y−1)L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 - \lambda(x + y - 1)
  • ∂L∂x=2x−λ=0\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - \lambda = 0
  • ∂L∂y=2y−λ=0\frac{\partial L}{\partial y} = 2y - \lambda = 0
  • ∂L∂λ=−(x+y−1)=0\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x + y - 1) = 0
  • 解得 x=y=12x = y = \frac{1}{2}，λ=1\lambda = 1
  • 最小值为 f(12,12)=12f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

实际应用问题

1. 最优化问题

例子：求函数 f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 在 [0,3][0, 3] 上的最大值。

解：

  • f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)
  • 驻点：x=0,2x = 0, 2
  • f(0)=2f(0) = 2，f(2)=−2f(2) = -2，f(3)=2f(3) = 2
  • 最大值为 22

2. 经济应用

例子：某产品的成本函数为 C(x)=x3−3x2+2x+10C(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 10，求平均成本最小的产量。

解：

  • 平均成本 AC(x)=C(x)x=x2−3x+2+10xAC(x) = \frac{C(x)}{x} = x^2 - 3x + 2 + \frac{10}{x}
  • AC′(x)=2x−3−10x2AC'(x) = 2x - 3 - \frac{10}{x^2}
  • 令 AC′(x)=0AC'(x) = 0，得 2x3−3x2−10=02x^3 - 3x^2 - 10 = 0
  • 通过数值方法求解，得到 x≈2.5x \approx 2.5

常见错误和注意事项

1. 最值计算错误

错误：只考虑驻点，忽略端点和不可导点 正确：必须考虑所有可能的极值点

2. 开区间最值错误

错误：忽略端点的极限值 正确：需要计算端点的极限值

3. 条件极值错误

错误：直接求导而不考虑约束条件 正确：使用拉格朗日乘数法

4. 函数定义域错误

错误：忽略函数的定义域限制 正确：确保所有计算都在函数的定义域内

练习题

练习 1

求函数 f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 在 [0,3][0, 3] 上的最大最小值。

参考答案

解题思路： 求所有可能的极值点，比较函数值。

详细步骤：

  1. f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)
  2. 驻点：x=0,2x = 0, 2
  3. f(0)=2f(0) = 2，f(2)=−2f(2) = -2，f(3)=2f(3) = 2
  4. 最大值为 22，最小值为 −2-2

答案：最大值为 22，最小值为 −2-2。

练习 2

求函数 f(x)=x2+1xf(x) = \frac{x^2 + 1}{x} 在 [1,3][1, 3] 上的最大最小值。

参考答案

解题思路： 求导数，找驻点，比较函数值。

详细步骤：

  1. f′(x)=x2−1x2f'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}
  2. 令 f′(x)=0f'(x) = 0，得 x=±1x = \pm 1，但在 [1,3][1, 3] 内只有 x=1x = 1
  3. f(1)=2f(1) = 2，f(3)=103≈3.33f(3) = \frac{10}{3} \approx 3.33
  4. 最大值为 103\frac{10}{3}，最小值为 22

答案：最大值为 103\frac{10}{3}，最小值为 22。

练习 3

求函数 f(x)=∣x2−4∣f(x) = |x^2 - 4| 在 [−3,3][-3, 3] 上的最大最小值。

参考答案

解题思路： 分段讨论，求各段的极值点。

详细步骤：

  1. 当 x2−4≥0x^2 - 4 \geq 0 时，f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4
  2. 当 x2−4<0x^2 - 4 < 0 时，f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2
  3. 分界点：x=±2x = \pm 2
  4. 在 [−3,−2][-3, -2] 上：f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4，f′(x)=2xf'(x) = 2x
  5. 在 [−2,2][-2, 2] 上：f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2，f′(x)=−2xf'(x) = -2x
  6. 在 [2,3][2, 3] 上：f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4，f′(x)=2xf'(x) = 2x
  7. 驻点：x=0x = 0（在 [−2,2][-2, 2] 上）
  8. f(−3)=5f(-3) = 5，f(−2)=0f(-2) = 0，f(0)=4f(0) = 4，f(2)=0f(2) = 0，f(3)=5f(3) = 5
  9. 最大值为 55，最小值为 00

答案：最大值为 55，最小值为 00。

搜索