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一元函数微分学

曲线的切线与法线

曲线的切线与法线

切线方程

切线的定义

定义：曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) 处的切线是过该点且与曲线在该点相切的直线。

切线方程公式

公式：曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) 处的切线方程为

y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)

或者写成点斜式：

y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

切线的几何意义

  • 切线的斜率等于函数在该点的导数
  • 切线是曲线在该点的最佳线性近似
  • 切线与曲线在该点有相同的函数值和导数值

法线方程

法线的定义

定义：曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) 处的法线是过该点且与切线垂直的直线。

法线方程公式

公式：曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) 处的法线方程为

y−f(x0)=−1f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)

（当 f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0 时）

当 f′(x0)=0f'(x_0) = 0 时，法线方程为 x=x0x = x_0（垂直线）。

应用例子

例子 1：求曲线 y=ln⁡xy = \ln x 在点 (1,0)(1, 0) 处的切线和法线方程。

解：

  • f′(x)=1xf'(x) = \frac{1}{x}，f′(1)=1f'(1) = 1
  • 切线方程：y−0=1(x−1)y - 0 = 1(x - 1)，即 y=x−1y = x - 1
  • 法线方程：y−0=−1(x−1)y - 0 = -1(x - 1)，即 y=−x+1y = -x + 1

例子 2：求曲线 y=x2y = x^2 在点 (2,4)(2, 4) 处的切线和法线方程。

解：

  • f′(x)=2xf'(x) = 2x，f′(2)=4f'(2) = 4
  • 切线方程：y−4=4(x−2)y - 4 = 4(x - 2)，即 y=4x−4y = 4x - 4
  • 法线方程：y−4=−14(x−2)y - 4 = -\frac{1}{4}(x - 2)，即 y=−14x+92y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{2}

例子 3：求曲线 y=sin⁡xy = \sin x 在点 (π2,1)(\frac{\pi}{2}, 1) 处的切线和法线方程。

解：

  • f′(x)=cos⁡xf'(x) = \cos x，f′(π2)=0f'(\frac{\pi}{2}) = 0
  • 切线方程：y−1=0(x−π2)y - 1 = 0(x - \frac{\pi}{2})，即 y=1y = 1
  • 法线方程：x=π2x = \frac{\pi}{2}（垂直线）

参数方程的切线和法线

参数方程形式

如果曲线由参数方程给出：

x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$$ 则切线的斜率为： $$\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$$ #### 应用例子 **例子**：求参数方程 $\begin{cases} x = t^2 \\ y = t^3 \end{cases}$ 在 $t = 1$ 处的切线方程。 **解**： - $x'(t) = 2t$，$y'(t) = 3t^2$ - 当 $t = 1$ 时，$x = 1$，$y = 1$，$x'(1) = 2$，$y'(1) = 3$ - 切线斜率：$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}$ - 切线方程：$y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1)$，即 $y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$ ### 隐函数方程的切线和法线 #### 隐函数求导 如果曲线由隐函数方程 $F(x, y) = 0$ 给出，则： $$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$ 其中 $F_x$ 和 $F_y$ 分别是 $F$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数。 #### 应用例子 **例子**：求圆 $x^2 + y^2 = 25$ 在点 $(3, 4)$ 处的切线方程。 **解**： - 设 $F(x, y) = x^2 + y^2 - 25$ - $F_x = 2x$，$F_y = 2y$ - 在点 $(3, 4)$ 处：$F_x = 6$，$F_y = 8$ - 切线斜率：$\frac{dy}{dx} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$ - 切线方程：$y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)$，即 $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$ ### 切线的应用 #### 1. 线性近似 **定义**：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的线性近似为： $$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$ **例子**：求 $\sqrt{4.1}$ 的近似值。 **解**： - 设 $f(x) = \sqrt{x}$，$x_0 = 4$ - $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$，$f'(4) = \frac{1}{4}$ - $f(4) = 2$ - $\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4}(4.1 - 4) = 2 + 0.025 = 2.025$ #### 2. 误差估计 **定理**：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得： $$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$$ ### 常见错误和注意事项 #### 1. 切线计算错误 **错误**：切线斜率计算错误 **正确**：切线斜率等于函数在该点的导数 #### 2. 法线计算错误 **错误**：法线斜率计算错误 **正确**：法线斜率是切线斜率的负倒数 #### 3. 参数方程错误 **错误**：直接对 $y$ 求导 **正确**：使用参数求导公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$ #### 4. 隐函数错误 **错误**：直接对 $y$ 求导 **正确**：使用隐函数求导公式 --- ## 练习题 ### 练习 1 求曲线 $y = \ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线方程。 <ReferenceAnswer title="参考答案" client:load> **解题思路**： 求导数，计算切线方程。 **详细步骤**： 1. $f'(x) = \frac{1}{x}$，$f'(1) = 1$ 2. 切线方程：$y - 0 = 1(x - 1)$ 3. 即 $y = x - 1$ **答案**：切线方程为 $y = x - 1$。 </ReferenceAnswer> ### 练习 2 求曲线 $y = x^2$ 在点 $(2, 4)$ 处的切线和法线方程。 <ReferenceAnswer title="参考答案" client:load> **解题思路**： 求导数，计算切线和法线方程。 **详细步骤**： 1. $f'(x) = 2x$，$f'(2) = 4$ 2. 切线方程：$y - 4 = 4(x - 2)$，即 $y = 4x - 4$ 3. 法线方程：$y - 4 = -\frac{1}{4}(x - 2)$，即 $y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{2}$ **答案**：切线方程为 $y = 4x - 4$，法线方程为 $y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{2}$。 </ReferenceAnswer> ### 练习 3 求圆 $x^2 + y^2 = 25$ 在点 $(3, 4)$ 处的切线方程。 <ReferenceAnswer title="参考答案" client:load> **解题思路**： 使用隐函数求导法。 **详细步骤**： 1. 设 $F(x, y) = x^2 + y^2 - 25$ 2. $F_x = 2x$，$F_y = 2y$ 3. 在点 $(3, 4)$ 处：$F_x = 6$，$F_y = 8$ 4. 切线斜率：$\frac{dy}{dx} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$ 5. 切线方程：$y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)$，即 $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$ **答案**：切线方程为 $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$。 </ReferenceAnswer>

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