曲线的切线与法线

曲线的切线与法线

切线方程

切线的定义

定义：曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线是过该点且与曲线在该点相切的直线。

切线方程公式

公式：曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线方程为

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

或者写成点斜式：

$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

切线的几何意义

• 切线的斜率等于函数在该点的导数
• 切线是曲线在该点的最佳线性近似
• 切线与曲线在该点有相同的函数值和导数值

法线方程

法线的定义

定义：曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的法线是过该点且与切线垂直的直线。

法线方程公式

公式：曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的法线方程为

$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$

（当 $f'(x_0) \neq 0$ 时）

当 $f'(x_0) = 0$ 时，法线方程为 $x = x_0$（垂直线）。

应用例子

例子 1：求曲线 $y = \ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线和法线方程。

解：

• $f'(x) = \frac{1}{x}$，$f'(1) = 1$
• 切线方程：$y - 0 = 1(x - 1)$，即 $y = x - 1$
• 法线方程：$y - 0 = -1(x - 1)$，即 $y = -x + 1$

例子 2：求曲线 $y = x^2$ 在点 $(2, 4)$ 处的切线和法线方程。

解：

• $f'(x) = 2x$，$f'(2) = 4$
• 切线方程：$y - 4 = 4(x - 2)$，即 $y = 4x - 4$
• 法线方程：$y - 4 = -\frac{1}{4}(x - 2)$，即 $y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{2}$

例子 3：求曲线 $y = \sin x$ 在点 $(\frac{\pi}{2}, 1)$ 处的切线和法线方程。

解：

• $f'(x) = \cos x$，$f'(\frac{\pi}{2}) = 0$
• 切线方程：$y - 1 = 0(x - \frac{\pi}{2})$，即 $y = 1$
• 法线方程：$x = \frac{\pi}{2}$（垂直线）

参数方程的切线和法线

参数方程形式

如果曲线由参数方程给出：

$$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$$

则切线的斜率为：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$$

应用例子

例子：求参数方程 $\begin{cases} x = t^2 \\ y = t^3 \end{cases}$ 在 $t = 1$ 处的切线方程。

解：

• $x'(t) = 2t$，$y'(t) = 3t^2$
• 当 $t = 1$ 时，$x = 1$，$y = 1$，$x'(1) = 2$，$y'(1) = 3$
• 切线斜率：$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}$
• 切线方程：$y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1)$，即 $y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$

隐函数方程的切线和法线

隐函数求导

如果曲线由隐函数方程 $F(x, y) = 0$ 给出，则：

$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$

其中 $F_x$ 和 $F_y$ 分别是 $F$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数。

应用例子

例子：求圆 $x^2 + y^2 = 25$ 在点 $(3, 4)$ 处的切线方程。

解：

• 设 $F(x, y) = x^2 + y^2 - 25$
• $F_x = 2x$，$F_y = 2y$
• 在点 $(3, 4)$ 处：$F_x = 6$，$F_y = 8$
• 切线斜率：$\frac{dy}{dx} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$
• 切线方程：$y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)$，即 $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$

切线的应用

1. 线性近似

定义：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的线性近似为：

$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

例子：求 $\sqrt{4.1}$ 的近似值。

解：

• 设 $f(x) = \sqrt{x}$，$x_0 = 4$
• $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$，$f'(4) = \frac{1}{4}$
• $f(4) = 2$
• $\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4}(4.1 - 4) = 2 + 0.025 = 2.025$

2. 误差估计

定理：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得：

$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$

常见错误和注意事项

1. 切线计算错误

错误：切线斜率计算错误 正确：切线斜率等于函数在该点的导数

2. 法线计算错误

错误：法线斜率计算错误 正确：法线斜率是切线斜率的负倒数

3. 参数方程错误

错误：直接对 $y$ 求导 正确：使用参数求导公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$

4. 隐函数错误

错误：直接对 $y$ 求导 正确：使用隐函数求导公式

练习题

练习 1

求曲线 $y = \ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线方程。

参考答案

解题思路： 求导数，计算切线方程。

详细步骤：

1. $f'(x) = \frac{1}{x}$，$f'(1) = 1$
2. 切线方程：$y - 0 = 1(x - 1)$
3. 即 $y = x - 1$

答案：切线方程为 $y = x - 1$。

练习 2

求曲线 $y = x^2$ 在点 $(2, 4)$ 处的切线和法线方程。

参考答案

解题思路： 求导数，计算切线和法线方程。

详细步骤：

1. $f'(x) = 2x$，$f'(2) = 4$
2. 切线方程：$y - 4 = 4(x - 2)$，即 $y = 4x - 4$
3. 法线方程：$y - 4 = -\frac{1}{4}(x - 2)$，即 $y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{2}$

答案：切线方程为 $y = 4x - 4$，法线方程为 $y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{2}$。

练习 3

求圆 $x^2 + y^2 = 25$ 在点 $(3, 4)$ 处的切线方程。

参考答案

解题思路： 使用隐函数求导法。

详细步骤：

1. 设 $F(x, y) = x^2 + y^2 - 25$
2. $F_x = 2x$，$F_y = 2y$
3. 在点 $(3, 4)$ 处：$F_x = 6$，$F_y = 8$
4. 切线斜率：$\frac{dy}{dx} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$
5. 切线方程：$y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)$，即 $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$

答案：切线方程为 $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\xi$	希腊字母	Xi（克西）	中值定理中的某一点

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
切线	tangent line	/ˈtændʒənt laɪn/	与曲线在一点相切的直线
法线	normal line	/ˈnɔːməl laɪn/	与切线垂直的直线
隐函数	implicit function	/ɪmˈplɪsɪt ˈfʌŋkʃən/	不能用显式形式 $y = f(x)$ 表示的函数
隐函数求导	implicit differentiation	/ɪmˈplɪsɪt dɪfərenʃɪˈeɪʃən/	对隐函数求导数的方法

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