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一元函数微分学

弧微分与曲率

弧微分与曲率

弧微分

弧微分的定义

定义：曲线 y=f(x)y = f(x) 的弧微分为

ds=1+[f′(x)]2dxds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx

弧长的计算

公式：曲线 y=f(x)y = f(x) 从点 (a,f(a))(a, f(a)) 到点 (b,f(b))(b, f(b)) 的弧长为

L=∫ab1+[f′(x)]2dxL = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx

应用例子

例子 1：求曲线 y=x2y = x^2 从 (0,0)(0, 0) 到 (1,1)(1, 1) 的弧长。

解：

  • f′(x)=2xf'(x) = 2x
  • ds=1+(2x)2dx=1+4x2dxds = \sqrt{1 + (2x)^2} dx = \sqrt{1 + 4x^2} dx
  • L=∫011+4x2dxL = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} dx
  • 令 2x=tan⁡θ2x = \tan \theta，则 dx=12sec⁡2θdθdx = \frac{1}{2} \sec^2 \theta d\theta
  • L=∫0arctan⁡21+tan⁡2θ⋅12sec⁡2θdθL = \int_0^{\arctan 2} \sqrt{1 + \tan^2 \theta} \cdot \frac{1}{2} \sec^2 \theta d\theta
  • =12∫0arctan⁡2sec⁡3θdθ= \frac{1}{2} \int_0^{\arctan 2} \sec^3 \theta d\theta
  • =12[sec⁡θtan⁡θ+ln⁡∣sec⁡θ+tan⁡θ∣]0arctan⁡2= \frac{1}{2} [\sec \theta \tan \theta + \ln |\sec \theta + \tan \theta|]_0^{\arctan 2}
  • =12[25+ln⁡(2+5)]= \frac{1}{2} [2\sqrt{5} + \ln(2 + \sqrt{5})]

例子 2：求圆 x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2 的周长。

解：

  • 上半圆：y=r2−x2y = \sqrt{r^2 - x^2}
  • f′(x)=−xr2−x2f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}}
  • ds=1+x2r2−x2dx=rr2−x2dxds = \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}} dx = \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}} dx
  • L=2∫−rrrr2−x2dx=2r∫−rr1r2−x2dxL = 2 \int_{-r}^r \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}} dx = 2r \int_{-r}^r \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}} dx
  • =2r[arcsin⁡xr]−rr=2r⋅π=2πr= 2r [\arcsin \frac{x}{r}]_{-r}^r = 2r \cdot \pi = 2\pi r

曲率

曲率的定义

定义：曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 xx 处的曲率为

κ=∣f′′(x)∣[1+(f′(x))2]3/2\kappa = \frac{|f''(x)|}{[1 + (f'(x))^2]^{3/2}}

曲率的几何意义

  • 曲率表示曲线在该点的弯曲程度
  • 曲率越大，曲线弯曲越剧烈
  • 直线的曲率为零
  • 圆的曲率为常数 1r\frac{1}{r}（rr 为半径）

应用例子

例子 1：求曲线 y=x2y = x^2 在点 (1,1)(1, 1) 处的曲率。

解：

  • f′(x)=2xf'(x) = 2x，f′(1)=2f'(1) = 2
  • f′′(x)=2f''(x) = 2，f′′(1)=2f''(1) = 2
  • κ=∣2∣[1+22]3/2=253/2=255\kappa = \frac{|2|}{[1 + 2^2]^{3/2}} = \frac{2}{5^{3/2}} = \frac{2}{5\sqrt{5}}

例子 2：求圆 x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2 的曲率。

解：

  • 上半圆：y=r2−x2y = \sqrt{r^2 - x^2}
  • f′(x)=−xr2−x2f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}}
  • f′′(x)=−r2(r2−x2)3/2f''(x) = -\frac{r^2}{(r^2 - x^2)^{3/2}}
  • κ=∣−r2(r2−x2)3/2∣[1+x2r2−x2]3/2\kappa = \frac{|-\frac{r^2}{(r^2 - x^2)^{3/2}}|}{[1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}]^{3/2}}
  • =r2(r2−x2)3/2⋅(r2−x2)3/2r3=1r= \frac{r^2}{(r^2 - x^2)^{3/2}} \cdot \frac{(r^2 - x^2)^{3/2}}{r^3} = \frac{1}{r}

例子 3：求直线 y=mx+by = mx + b 的曲率。

解：

  • f′(x)=mf'(x) = m，f′′(x)=0f''(x) = 0
  • κ=∣0∣[1+m2]3/2=0\kappa = \frac{|0|}{[1 + m^2]^{3/2}} = 0

参数方程的弧长和曲率

参数方程的弧长

如果曲线由参数方程给出：

x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$$ 则弧微分为： $$ds = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$$ 弧长为： $$L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$$ #### 参数方程的曲率 曲率为： $$\kappa = \frac{|x'(t)y''(t) - x''(t)y'(t)|}{[x'(t)^2 + y'(t)^2]^{3/2}}$$ #### 应用例子 **例子**：求参数方程 $\begin{cases} x = a \cos t \\ y = a \sin t \end{cases}$ 的弧长和曲率。 **解**： - $x'(t) = -a \sin t$，$y'(t) = a \cos t$ - $x''(t) = -a \cos t$，$y''(t) = -a \sin t$ - $ds = \sqrt{a^2 \sin^2 t + a^2 \cos^2 t} dt = a dt$ - $L = \int_0^{2\pi} a dt = 2\pi a$ - $\kappa = \frac{|(-a \sin t)(-a \sin t) - (-a \cos t)(a \cos t)|}{[a^2 \sin^2 t + a^2 \cos^2 t]^{3/2}}$ - $= \frac{|a^2 \sin^2 t + a^2 \cos^2 t|}{a^3} = \frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$ ### 极坐标方程的弧长和曲率 #### 极坐标方程的弧长 如果曲线由极坐标方程 $r = r(\theta)$ 给出，则弧微分为： $$ds = \sqrt{r^2 + [r'(\theta)]^2} d\theta$$ 弧长为： $$L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2 + [r'(\theta)]^2} d\theta$$ #### 应用例子 **例子**：求极坐标方程 $r = a$（圆）的周长。 **解**： - $r'(\theta) = 0$ - $ds = \sqrt{a^2 + 0^2} d\theta = a d\theta$ - $L = \int_0^{2\pi} a d\theta = 2\pi a$ ### 曲率的应用 #### 1. 曲率半径 **定义**：曲率半径 $R = \frac{1}{\kappa}$ **几何意义**：曲率半径是曲线在该点的最佳圆近似半径。 #### 2. 密切圆 **定义**：在曲线某点处与曲线有相同曲率的圆称为密切圆。 **性质**： - 密切圆与曲线在该点有相同的函数值、一阶导数和二阶导数 - 密切圆的半径等于曲率半径 #### 3. 曲率中心 **定义**：密切圆的圆心称为曲率中心。 **坐标**：如果曲线为 $y = f(x)$，则曲率中心的坐标为： $$(x_c, y_c) = \left(x - \frac{f'[x](1 + (f'(x))^2)}{f''(x)}, f(x) + \frac{1 + (f'(x))^2}{f''(x)}\right)$$ ### 常见错误和注意事项 #### 1. 弧长计算错误 **错误**：忽略弧微分公式中的平方根 **正确**：必须使用 $ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$ #### 2. 曲率计算错误 **错误**：忘记取绝对值 **正确**：曲率公式中必须取绝对值 #### 3. 参数方程错误 **错误**：直接使用直角坐标公式 **正确**：使用参数方程的专用公式 #### 4. 积分计算错误 **错误**：积分限设置错误 **正确**：确保积分限对应正确的参数范围 --- ## 练习题 ### 练习 1 求曲线 $y = x^2$ 在点 $(1, 1)$ 处的曲率。 <ReferenceAnswer title="参考答案" client:load> **解题思路**： 求一阶和二阶导数，代入曲率公式。 **详细步骤**： 1. $f'(x) = 2x$，$f'(1) = 2$ 2. $f''(x) = 2$，$f''(1) = 2$ 3. $\kappa = \frac{|2|}{[1 + 2^2]^{3/2}} = \frac{2}{5^{3/2}} = \frac{2}{5\sqrt{5}}$ **答案**：曲率为 $\frac{2}{5\sqrt{5}}$。 </ReferenceAnswer> ### 练习 2 求圆 $x^2 + y^2 = 4$ 的曲率。 <ReferenceAnswer title="参考答案" client:load> **解题思路**： 使用圆的曲率公式。 **详细步骤**： 1. 圆的半径为 $r = 2$ 2. 圆的曲率为 $\kappa = \frac{1}{r} = \frac{1}{2}$ **答案**：曲率为 $\frac{1}{2}$。 </ReferenceAnswer> ### 练习 3 求曲线 $y = x^2$ 从 $(0, 0)$ 到 $(1, 1)$ 的弧长。 <ReferenceAnswer title="参考答案" client:load> **解题思路**： 使用弧长公式，进行积分。 **详细步骤**： 1. $f'(x) = 2x$ 2. $ds = \sqrt{1 + (2x)^2} dx = \sqrt{1 + 4x^2} dx$ 3. $L = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} dx$ 4. 令 $2x = \tan \theta$，则 $dx = \frac{1}{2} \sec^2 \theta d\theta$ 5. $L = \int_0^{\arctan 2} \sqrt{1 + \tan^2 \theta} \cdot \frac{1}{2} \sec^2 \theta d\theta$ 6. $= \frac{1}{2} \int_0^{\arctan 2} \sec^3 \theta d\theta$ 7. $= \frac{1}{2} [\sec \theta \tan \theta + \ln |\sec \theta + \tan \theta|]_0^{\arctan 2}$ 8. $= \frac{1}{2} [2\sqrt{5} + \ln(2 + \sqrt{5})]$ **答案**：弧长为 $\frac{1}{2} [2\sqrt{5} + \ln(2 + \sqrt{5})]$。 </ReferenceAnswer>

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