一元函数微分学导论

什么是一元函数？

函数的基本概念

在数学中，函数是描述两个变量之间依赖关系的数学工具。具体来说，函数是一个规则，它将一个集合（称为定义域）中的每个元素唯一地对应到另一个集合（称为值域）中的一个元素。

一元函数的定义

一元函数是指只有一个自变量的函数。用数学语言表示：

设 $D$ 是一个非空集合，如果对于 $D$ 中的每一个元素 $x$，按照某种对应法则 $f$，都有唯一确定的实数 $y$ 与之对应，那么称 $f$ 是定义在 $D$ 上的一元函数，记作：

$y = f(x), \quad x \in D$

其中：

• $x$ 称为自变量（independent variable）
• $y$ 称为因变量（dependent variable）
• $D$ 称为函数的定义域（domain）
• $f$ 称为对应法则（correspondence rule）

一元函数的例子

1. 线性函数：$f(x) = ax + b$，其中 $a, b$ 为常数
2. 二次函数：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 为常数
3. 幂函数：$f(x) = x^n$，其中 $n$ 为正整数
4. 指数函数：$f(x) = a^x$，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$
5. 对数函数：$f(x) = \log_a x$，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$
6. 三角函数：$f(x) = \sin x$，$f(x) = \cos x$，$f(x) = \tan x$ 等

什么是微分学？

微分学的起源

微分学是微积分的一个重要分支，它的发展可以追溯到 17 世纪。牛顿（Isaac Newton）和莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）几乎同时独立地发明了微积分，为现代数学和物理学的发展奠定了基础。

微分学的核心问题

微分学主要研究以下问题：

1. 变化率问题：研究函数在某一点附近的变化快慢
2. 切线问题：求函数图像在某一点的切线斜率
3. 极值问题：寻找函数的极大值和极小值
4. 近似计算：用线性函数近似复杂的非线性函数

导数的概念

导数是微分学的核心概念，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$（点 $x_0 + \Delta x$ 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$。

如果当 $\Delta x \to 0$ 时，极限

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记作：

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

导数的几何意义

导数的几何意义是函数图像在该点的切线斜率。具体来说：

• 如果 $f'(x_0) > 0$，则函数在该点附近是递增的
• 如果 $f'(x_0) < 0$，则函数在该点附近是递减的
• 如果 $f'(x_0) = 0$，则函数在该点可能有极值

微分的概念

微分是导数的另一种表达形式。设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则称 $f'(x_0) \Delta x$ 为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分，记作：

$dy = f'(x_0) dx$

其中 $dx = \Delta x$ 称为自变量的微分。

练习题

练习 1

判断以下函数是否为一元函数，并说明理由：

1. $f(x) = x^2 + 1$
2. $g(x, y) = x + y$
3. $h(x) = \sqrt{x}$
4. $k(x) = \frac{1}{x}$

参考答案

解题思路： 要判断一个函数是否为一元函数，需要检查它是否只有一个自变量。

详细步骤：

1. $f(x) = x^2 + 1$：这是一个一元函数，因为它只有一个自变量 $x$。

2. $g(x, y) = x + y$：这不是一元函数，因为它有两个自变量 $x$ 和 $y$，这是一个二元函数。

3. $h(x) = \sqrt{x}$：这是一个一元函数，因为它只有一个自变量 $x$。

4. $k(x) = \frac{1}{x}$：这是一个一元函数，因为它只有一个自变量 $x$。

答案：

1. 是一元函数
2. 不是一元函数（是二元函数）
3. 是一元函数
4. 是一元函数

练习 2

根据导数的定义，求函数 $f(x) = x^2$ 在点 $x = 2$ 处的导数。

参考答案

解题思路： 使用导数的定义公式，计算极限值。

详细步骤：

根据导数的定义： $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

对于 $f(x) = x^2$，在 $x = 2$ 处：

$f'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(2 + \Delta x)^2 - 2^2}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2 - 4}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} (4 + \Delta x) = 4$

答案： $f'(2) = 4$

练习 3

解释导数的几何意义，并说明为什么 $f'(x_0)$ 表示函数在点 $x_0$ 处的切线斜率。

参考答案

解题思路： 通过分析割线到切线的极限过程来解释导数的几何意义。

详细步骤：

1. 割线的斜率： 在函数 $y = f(x)$ 的图像上，取两点 $P(x_0, f(x_0))$ 和 $Q(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$，连接这两点的直线称为割线。

   割线的斜率为： $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

2. 切线的定义： 当点 $Q$ 沿着曲线无限接近点 $P$ 时（即 $\Delta x \to 0$），割线 $PQ$ 的极限位置就是曲线在点 $P$ 处的切线。

3. 切线的斜率： 切线的斜率就是割线斜率的极限： $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)$

4. 几何意义：

   • 如果 $f'(x_0) > 0$，切线向上倾斜，函数在该点附近递增
   • 如果 $f'(x_0) < 0$，切线向下倾斜，函数在该点附近递减
   • 如果 $f'(x_0) = 0$，切线水平，函数在该点可能有极值

答案： 导数的几何意义是函数图像在该点的切线斜率。这是因为当 $\Delta x \to 0$ 时，割线 $PQ$ 的极限位置就是切线，而割线斜率的极限就是切线的斜率，即导数 $f'(x_0)$。

通过本篇文章的学习，你应该对一元函数和微分学有了基本的认识。一元函数是只有一个自变量的函数，而微分学则是研究函数变化率的数学分支。导数和微分是微分学的核心概念，它们不仅在数学理论中具有重要意义，在实际应用中也有广泛的应用。

在接下来的学习中，我们将深入探讨导数的计算方法、微分的基本性质，以及微分学在各个领域的应用。