高阶导数

高阶导数是微积分中的重要概念，它帮助我们研究函数的更高阶变化率。

高阶导数的定义

定义：函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数记作 $f^{(n)}(x)$ 或 $\frac{d^n f}{dx^n}$，定义为

$f^{(n)}(x) = \frac{d}{dx}(f^{(n-1)}(x))$

高阶导数的物理意义

• 一阶导数：瞬时速度
• 二阶导数：瞬时加速度
• 三阶导数：加加速度（急动度）

常见函数的高阶导数

1. 幂函数

• $(x^n)' = nx^{n-1}$
• $(x^n)'' = n(n-1)x^{n-2}$
• $(x^n)''' = n(n-1)(n-2)x^{n-3}$
• $(x^n)^{(k)} = \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}$（$k \leq n$）

2. 指数函数

• $(e^x)' = e^x$
• $(e^x)'' = e^x$
• $(e^x)''' = e^x$
• $(e^x)^{(n)} = e^x$

3. 三角函数

正弦函数：

• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\sin x)'' = -\sin x$
• $(\sin x)''' = -\cos x$
• $(\sin x)^{(4)} = \sin x$

余弦函数：

• $(\cos x)' = -\sin x$
• $(\cos x)'' = -\cos x$
• $(\cos x)''' = \sin x$
• $(\cos x)^{(4)} = \cos x$

4. 对数函数

• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
• $(\ln x)'' = -\frac{1}{x^2}$
• $(\ln x)''' = \frac{2}{x^3}$
• $(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$

高阶导数的运算法则

1. 线性性

• $(af + bg)^{(n)} = af^{(n)} + bg^{(n)}$

2. 莱布尼茨公式

公式：$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}$

其中 $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 是组合数。

3. 复合函数的高阶导数

对于复合函数 $f(g(x))$，高阶导数的计算比较复杂，通常需要使用链式法则的推广形式。

莱布尼茨公式的应用

例子 1：求 $(x^2 \sin x)''$

解：

• 使用莱布尼茨公式：$n = 2$
• $(x^2)' = 2x$，$(x^2)'' = 2$
• $(\sin x)' = \cos x$，$(\sin x)'' = -\sin x$
• $(x^2 \sin x)'' = C_2^0 \cdot 2 \cdot \sin x + C_2^1 \cdot 2x \cdot \cos x + C_2^2 \cdot x^2 \cdot (-\sin x)$
• $= 2\sin x + 4x\cos x - x^2\sin x$

例子 2：求 $(e^x \ln x)''$

解：

• 使用莱布尼茨公式：$n = 2$
• $(e^x)' = e^x$，$(e^x)'' = e^x$
• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$，$(\ln x)'' = -\frac{1}{x^2}$
• $(e^x \ln x)'' = C_2^0 \cdot e^x \cdot \ln x + C_2^1 \cdot e^x \cdot \frac{1}{x} + C_2^2 \cdot e^x \cdot (-\frac{1}{x^2})$
• $= e^x(\ln x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2})$

高阶导数的几何意义

1. 二阶导数的几何意义

• $f''(x) > 0$：函数在该点附近是凸的
• $f''(x) < 0$：函数在该点附近是凹的
• $f''(x) = 0$：可能是拐点

2. 拐点的判定

如果 $f''(c) = 0$ 且 $f'''(c) \neq 0$，则 $x = c$ 是函数 $f(x)$ 的拐点。

常见错误和注意事项

1. 莱布尼茨公式错误

错误：$(uv)'' = u''v''$ 正确：$(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''$

2. 符号错误

错误：$(\cos x)'' = \cos x$ 正确：$(\cos x)'' = -\cos x$

3. 阶数错误

错误：$(x^3)'' = 3x^2$ 正确：$(x^3)'' = 6x$

4. 复合函数错误

对于复合函数的高阶导数，不能简单地应用莱布尼茨公式。

练习题

练习 1

求函数 $f(x) = x^3 \sin x$ 的三阶导数。

参考答案

解题思路： 使用莱布尼茨公式求高阶导数。

详细步骤：

1. 使用莱布尼茨公式：$(uv)^{(3)} = \sum_{k=0}^{3} C_3^k u^{(k)} v^{(3-k)}$
2. $(x^3)' = 3x^2$，$(x^3)'' = 6x$，$(x^3)''' = 6$
3. $(\sin x)' = \cos x$，$(\sin x)'' = -\sin x$，$(\sin x)''' = -\cos x$
4. $f'''(x) = C_3^0 \cdot 6 \cdot \sin x + C_3^1 \cdot 6x \cdot (-\sin x) + C_3^2 \cdot 3x^2 \cdot (-\cos x) + C_3^3 \cdot x^3 \cdot (-\cos x)$
5. $f'''(x) = 6\sin x - 18x\sin x - 9x^2\cos x - x^3\cos x$

答案：$f'''(x) = 6\sin x - 18x\sin x - 9x^2\cos x - x^3\cos x$

练习 2

求函数 $f(x) = e^x \ln x$ 的二阶导数。

参考答案

解题思路： 使用莱布尼茨公式求二阶导数。

详细步骤：

1. 使用莱布尼茨公式：$(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''$
2. $(e^x)' = e^x$，$(e^x)'' = e^x$
3. $(\ln x)' = \frac{1}{x}$，$(\ln x)'' = -\frac{1}{x^2}$
4. $f''(x) = e^x \cdot \ln x + 2e^x \cdot \frac{1}{x} + e^x \cdot (-\frac{1}{x^2})$
5. $f''(x) = e^x(\ln x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2})$

答案：$f''(x) = e^x(\ln x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2})$

练习 3

求函数 $f(x) = x^2 \cos x$ 的四阶导数。

参考答案

解题思路： 使用莱布尼茨公式求四阶导数。

详细步骤：

1. 使用莱布尼茨公式：$(uv)^{(4)} = \sum_{k=0}^{4} C_4^k u^{(k)} v^{(4-k)}$
2. $(x^2)' = 2x$，$(x^2)'' = 2$，$(x^2)''' = 0$，$(x^2)^{(4)} = 0$
3. $(\cos x)' = -\sin x$，$(\cos x)'' = -\cos x$，$(\cos x)''' = \sin x$，$(\cos x)^{(4)} = \cos x$
4. $f^{(4)}(x) = C_4^0 \cdot 0 \cdot \cos x + C_4^1 \cdot 0 \cdot \sin x + C_4^2 \cdot 2 \cdot (-\cos x) + C_4^3 \cdot 2x \cdot (-\sin x) + C_4^4 \cdot x^2 \cdot \cos x$
5. $f^{(4)}(x) = 0 + 0 - 12\cos x - 8x\sin x + x^2\cos x$

答案：$f^{(4)}(x) = (x^2 - 12)\cos x - 8x\sin x$

练习 4

求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的三阶导数。

参考答案

解题思路： 使用复合函数求导法则。

详细步骤：

1. $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$
2. $f''(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}$
3. $f'''(x) = \frac{d}{dx}(\frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}) = \frac{2(-2x)(x^2 + 1)^2 - 2(1 - x^2) \cdot 2(x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4}$
4. $f'''(x) = \frac{4x(3x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^3}$

答案：$f'''(x) = \frac{4x(3x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^3}$

练习 5

求函数 $f(x) = \sin(x^2)$ 的二阶导数。

参考答案

解题思路： 使用复合函数求导法则。

详细步骤：

1. $f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$
2. $f''(x) = 2\cos(x^2) + 2x \cdot (-\sin(x^2) \cdot 2x) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)$

答案：$f''(x) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)$