微分的基本概念

微分刻画了函数在某一点附近的线性近似，是把导数转化为“微小增量”语言的工具。本章节与《导数的基本概念》互为补充，重点关注微分的定义、性质与应用。

微分的定义

微分的定义

若函数 $f(x)$ 在 $x$ 处可导，则该点的微分定义为

$$df = f'(x)\,dx,$$

其中 $df$ 是函数的微分，$dx$ 是自变量的微分（自变量的一个微小增量）。

微分的形式

微分公式

$$df = f'(x)\,dx$$

该等式告诉我们：函数的微分等于导数乘以自变量的微分。因而计算微分的关键步骤是求出导数，并将结果与 $dx$ 相乘。

微分的几何意义

在几何上，微分对应于函数曲线在某一点的切线。$df$ 给出了切线上对应的竖直变化，而 $dx$ 给出水平方向的微小移动，因此微分提供了函数局部线性近似的表达式。

微分的性质

线性性

线性性

$$d(af + bg) = a \cdot df + b \cdot dg$$

微分运算对加法与常数倍运算保持线性，可用于快速处理线性组合。

乘积法则

乘积法则

$$d(uv) = u \cdot dv + v \cdot du$$

与导数的乘积法则一致，微分的乘积可拆分为左、右两个部分之和。

商法则

商法则

$$d\!\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \cdot du - u \cdot dv}{v^2}$$

当处理商函数时，微分的商法则提供了统一的拆解方式（假设 $v \neq 0$）。

微分的应用

1. 线性近似：用 $df$ 描述函数在某点附近的变化，实现 $f(x + \Delta x) \approx f(x) + df$ 的估计。
2. 误差估计：通过控制 $dx$ 的大小，评估函数值的误差范围。
3. 变量替换：在积分或方程求解时，通过 $dx$ 的替换与 $df$ 的关系简化表达式。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$dx$	数学符号	“dee x”	自变量的微小增量
$df$	数学符号	“dee f”	函数值的微小增量

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
微分	differential	/ˌdɪfəˈrɛnʃəl/	将导数转化为增量形式的概念
线性性	linearity	/ˌlɪniˈærəti/	微分对加法与常数倍运算保持线性
乘积法则	product rule	/ˈprɒdʌkt ruːl/	微分的乘积拆分公式
商法则	quotient rule	/ˈkwəʊʃənt ruːl/	微分的商函数公式
线性近似	linear approximation	/ˈlɪniə əˌprɒkˌsɪˈmeɪʃən/	使用微分估计函数值变化
误差估计	error estimation	/ˈɛrə ˌɛstɪˈmeɪʃən/	利用微分评估计算误差
变量替换	change of variables	/tʃeɪndʒ əv ˈvɛəriəb(ə)lz/	基于微分进行的变量转换

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