极限练习题

解题思路：利用重要极限 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。

详细步骤：

$\frac{\sin 3x}{x} = 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}$，当 $x \to 0$ 时，$\frac{\sin 3x}{3x} \to 1$。

最终答案：极限值为 $3$。

解题思路： 无穷小数列的定义是 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = 0$，只需验证该极限成立。

详细步骤：

1. 由 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$（可由夹逼准则得：对任意 $N$ 取 $n > N$ 即有 $0 < \frac{1}{n} < \frac{1}{N}$）得数列趋于零。
2. 趋于零的数列即为无穷小数列。
3. 注意：无穷小数列只是调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散的原因之一，但它本身并不说明级数收敛。

最终答案：是无穷小数列。

解题思路：$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，所以极限 $\approx \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x$ 是二阶无穷小，等价于 $\frac{x^2}{2}$。
2. 用等价无穷小替换分子：$\frac{1 - \cos x}{x^2} \approx \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2}$。
3. 约去 $x^2$ 得 $\frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$。

最终答案：极限值为 $\frac{1}{2}$。

解题思路：利用重要极限 $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$。

详细步骤：

1. 把极限整理成标准形式 $\left(1 + \frac{a}{x}\right)^x$，其中 $a$ 为常数。
2. 本题中 $a = 2$，所以极限为 $\left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$。
3. 代入重要极限得 $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = e^2$。

最终答案：极限值为 $e^2$。

解题思路：当 $x \to 0^+$ 时，$f(x) = \frac{1}{x} \to +\infty$。

详细步骤：

1. 取 $x \to 0^+$，此时 $x$ 是正的无穷小量。
2. 倒数为无穷大量：$\frac{1}{x} \to +\infty$，函数值随 $x$ 减小而增大。
3. 所以右极限为 $+\infty$，不存在有限的极限值。

最终答案：极限不存在（极限为 $+\infty$）。此时 $f(x)$ 是无穷大量——注意“无穷大量”是描述函数趋于无穷这一性态的术语，并不表示极限作为一个有限数存在。

解题思路： 先化简，再求极限。

详细步骤：

1. $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$（当 $x \neq 2$ 时）

2. $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$

最终答案：极限值为 4。

解题思路： 利用极限的加法法则和重要极限。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + x}{x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x} + \frac{x}{x}\right)$

2. $= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} + \lim_{x \to 0} 1$

3. $= 1 + 1 = 2$

最终答案：极限值为 2。

解题思路： 分子分母同除以最高次项。

详细步骤：

1. $\frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 + 2x} = \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x}}$

2. $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x}}$

3. $= \frac{1 + 0 + 0}{1 + 0} = 1$

最终答案：极限值为 1。

解题思路： 计算 $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2}$ 来判断关系。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to 0} x = 0$

2. 由于极限为 0，所以 $x^3$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小。

最终答案：$x^3$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小。

解题思路： 利用等价无穷小代换简化计算。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$\tan x \sim x$，$\sin x \sim x$

2. 但是 $\tan x - \sin x$ 不能直接代换，需要进一步处理

3. $\tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right) = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}$

4. 当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，$\cos x \to 1$

5. 所以 $\tan x - \sin x \sim x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}$

6. 因此 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}$

最终答案：极限值为 $\frac{1}{2}$。

解题思路： 利用 $\sin$ 函数的有界性构造夹逼不等式。

详细步骤：

1. 由于 $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$，所以 $-x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2$

2. $\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$

3. 由夹逼准则，$\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0$

最终答案：极限值为 0。

解题思路： 先证明数列单调递减且有下界，然后求极限。

详细步骤：

1. 证明单调递减： $x_{n+1} - x_n = \frac{(n+1)^2 + 1}{(n+1)^2 + (n+1)} - \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} < 0$

2. 证明有下界： $x_n = \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} = 1 - \frac{n-1}{n^2 + n} > 0$

3. 由单调有界准则，数列收敛

4. 求极限： $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n}} = 1$

最终答案：数列收敛，极限为 1。

解题思路： 利用第一个重要极限的推广形式。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}$

2. $= 5 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 5 \cdot 1 = 5$

最终答案：极限值为 5。

解题思路： 利用第二个重要极限的推广形式 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$。

详细步骤：

1. 令 $t = \dfrac{x}{3}$，则 $\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x = \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{3t} = \left[\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t\right]^3$。
2. 括号内趋于 $e$（第二重要极限）。
3. 因此原式 $= e^3$。

最终答案：极限值为 $e^3$。

解题思路： 利用等价无穷小代换。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$，$\sin x \sim x$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

最终答案：极限值为 1。

解题思路： 需要分别计算左极限和右极限，看它们是否相等。

详细步骤：

1. 计算右极限：$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} (x+1) = 2$

2. 计算左极限：$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} (x+1) = 2$

3. 由于左极限等于右极限，所以极限存在。

最终答案：极限存在，值为 2。

解题思路： 使用极限的定义，证明对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时，$|x_n - 1| < \varepsilon$。

详细步骤：

1. $|x_n - 1| = \left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \left|\frac{n-(n+1)}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1}$

2. 要使 $\frac{1}{n+1} < \varepsilon$，需要 $n+1 > \frac{1}{\varepsilon}$，即 $n > \frac{1}{\varepsilon} - 1$

3. 取 $N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} - 1 \right\rfloor + 1$，则当 $n > N$ 时，$|x_n - 1| < \varepsilon$

最终答案：数列极限为 1。

解题思路： 分别计算左极限和右极限，看它们是否相等。

详细步骤：

1. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$

2. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$

3. 由于左极限不等于右极限，所以极限不存在。

最终答案：极限不存在（左极限为 $-\infty$、右极限为 $+\infty$）。