重要极限的应用

重要极限不仅是数学理论的基础，在实际应用中也有广泛用途。掌握这些应用可以帮助我们更好地理解极限的本质。

1. 等价无穷小

利用重要极限可以得到重要的等价无穷小，这些等价无穷小在极限计算中非常有用。

基本等价无穷小

当 $x \to 0$ 时：

• $\sin x \sim x$
• $\tan x \sim x$
• $e^x - 1 \sim x$
• $\ln(1 + x) \sim x$
• $(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$
• $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$
• $\arcsin x \sim x$
• $\arctan x \sim x$

等价无穷小的应用

例子 1：求 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x}$

解：

• 当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$，$\sin x \sim x$
• 因此 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

例子 2：求 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2}$

解：

• 当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 + x^2) \sim x^2$
• 因此 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = 1$

2. 极限计算

重要极限是计算复杂极限的基础工具。

复合函数极限

例子 1：求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(e^x - 1)}{x}$

解：

1. 当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$
2. 因此 $\sin(e^x - 1) \sim e^x - 1 \sim x$
3. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(e^x - 1)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

例子 2：求 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x}$

解：

1. 当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$
2. 因此 $e^{\sin x} - 1 \sim \sin x \sim x$
3. $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

幂指函数极限

例子 1：求 $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$

解：

• 这是第二个重要极限的倒数形式
• $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

例子 2：求 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{x^2}$

解：

• 令 $t = x^2$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to \infty$
• $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{x^2} = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e$

3. 金融应用

第二个重要极限在金融中有重要应用。

连续复利

在金融中，连续复利的计算公式为： $A = P \cdot e^{rt}$

其中：

• $A$ 是最终金额
• $P$ 是本金
• $r$ 是年利率
• $t$ 是时间（年）

例子：如果本金为 1000 元，年利率为 5%，连续复利 3 年，求最终金额。

解： $A = 1000 \cdot e^{0.05 \times 3} = 1000 \cdot e^{0.15} \approx 1161.83$

现值计算

现值计算公式为： $P = A \cdot e^{-rt}$

例子：如果 3 年后需要 1000 元，年利率为 5%，求现值。

解： $P = 1000 \cdot e^{-0.05 \times 3} = 1000 \cdot e^{-0.15} \approx 860.71$

4. 物理应用

重要极限在物理学中也有应用。

瞬时速度

瞬时速度的定义为： $v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}$

这实际上是一个极限过程。

瞬时加速度

瞬时加速度的定义为： $a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}$

5. 工程应用

信号处理

在信号处理中，正弦函数的极限性质用于分析信号的频率特性。

控制系统

在控制系统中，极限用于分析系统的稳定性和响应特性。

练习题

练习 1

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x}$。

参考答案

解题思路： 利用等价无穷小代换。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$，$\sin x \sim x$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

答案：极限值为 1。

练习 2

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(e^x - 1)}{x}$。

参考答案

解题思路： 利用复合函数的等价无穷小。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$

2. 因此 $\sin(e^x - 1) \sim e^x - 1 \sim x$

3. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(e^x - 1)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

答案：极限值为 1。

练习 3

求极限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$。

参考答案

解题思路： 利用第二个重要极限的推广形式。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = e^2$

答案：极限值为 $e^2$。

练习 4

如果本金为 2000 元，年利率为 6%，连续复利 5 年，求最终金额。

参考答案

解题思路： 利用连续复利公式。

详细步骤：

1. $A = P \cdot e^{rt} = 2000 \cdot e^{0.06 \times 5}$

2. $= 2000 \cdot e^{0.3} \approx 2000 \cdot 1.3499 \approx 2699.8$

答案：最终金额约为 2699.8 元。