重要极限综合练习

本节包含重要极限的综合练习题，涵盖各种类型的极限计算，帮助巩固对重要极限的理解和应用。

练习题

练习 1

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}$ 。

参考答案

解题思路：利用第一个重要极限的推广形式。

详细步骤：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}$
$= 5 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 5 \cdot 1 = 5$

答案：极限值为 5。

练习 2

求极限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x$ 。

参考答案

解题思路：利用第二个重要极限的推广形式。

详细步骤：

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x = e^3$

答案：极限值为 $e^3$ 。

练习 3

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x}$ 。

参考答案

解题思路：利用等价无穷小代换。

详细步骤：

当 $x \to 0$ 时， $e^x - 1 \sim x$ ， $\sin x \sim x$
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

答案：极限值为 1。

练习 4

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2}$ 。

参考答案

解题思路：利用对数函数极限。

详细步骤：

当 $x \to 0$ 时， $\ln(1 + x^2) \sim x^2$
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = 1$

答案：极限值为 1。

练习 5

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^3 - 1}{x}$ 。

参考答案

解题思路：利用幂函数极限公式。

详细步骤：

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^3 - 1}{x} = 3$

答案：极限值为 3。

练习 6

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x}$ 。

参考答案

解题思路：利用正切函数极限和变量代换。

详细步骤：

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\tan 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$

答案：极限值为 2。

练习 7

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ 。

参考答案

解题思路：利用余弦函数极限。

详细步骤：

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

答案：极限值为 $\frac{1}{2}$ 。

练习 8

求极限 $\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}}$ 。

参考答案

解题思路：利用变量代换和第二个重要极限。

详细步骤：

令 $t = \frac{1}{x}$ ，则当 $x \to 0$ 时， $t \to \infty$
$\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{2}{t}\right)^t = e^2$

答案：极限值为 $e^2$ 。

练习 9

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(e^x - 1)}{x}$ 。

参考答案

解题思路：利用复合函数的等价无穷小。

详细步骤：

当 $x \to 0$ 时， $e^x - 1 \sim x$
因此 $\sin(e^x - 1) \sim e^x - 1 \sim x$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(e^x - 1)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

答案：极限值为 1。

练习 10

求极限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x+1}\right)^x$ 。

参考答案

解题思路：利用变量代换和第二个重要极限。

详细步骤：

令 $t = x + 1$ ，则当 $x \to \infty$ 时， $t \to \infty$
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x+1}\right)^x = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t-1}$
$= \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t \cdot \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{-1} = e \cdot 1 = e$

答案：极限值为 $e$ 。

练习 11

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x}$ 。

参考答案

解题思路：利用复合函数的等价无穷小。

详细步骤：

当 $x \to 0$ 时， $\sin x \sim x$
因此 $e^{\sin x} - 1 \sim \sin x \sim x$
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

答案：极限值为 1。

练习 12

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}$ 。

参考答案

解题思路：利用反正弦函数极限。

详细步骤：

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$

答案：极限值为 1。

练习 13

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}$ 。

参考答案

解题思路：利用反正切函数极限。

详细步骤：

$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$

答案：极限值为 1。

练习 14

求极限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{x^2}$ 。

参考答案

解题思路：利用变量代换和第二个重要极限。

详细步骤：

令 $t = x^2$ ，则当 $x \to \infty$ 时， $t \to \infty$
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{x^2} = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e$

答案：极限值为 $e$ 。

练习 15

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^3}{x^3}$ 。

参考答案

解题思路：利用变量代换和第一个重要极限。

详细步骤：

令 $t = x^3$ ，则当 $x \to 0$ 时， $t \to 0$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^3}{x^3} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

答案：极限值为 1。