对数函数极限

对数函数极限是极限理论中的重要公式，在极限计算中经常用到。

基本形式

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$

证明思路

利用指数函数极限的逆运算：

1. 令 $t = \ln(1 + x)$，则 $1 + x = e^t$
2. 当 $x \to 0$ 时，$t \to 0$
3. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{e^t - 1} = 1$

详细推导过程

步骤 1：变量代换

• 令 $t = \ln(1 + x)$
• 则 $1 + x = e^t$
• 因此 $x = e^t - 1$

步骤 2：极限转换 当 $x \to 0$ 时：

• 由于 $t = \ln(1 + x)$，当 $x \to 0$ 时，$1 + x \to 1$，所以 $t \to 0$

步骤 3：建立等式 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{e^t - 1}$

步骤 4：利用指数函数极限 指数函数极限：$\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$

指数函数极限的来源：

这个指数函数极限实际上是从第二个重要极限推导出来的：

1. 第二个重要极限：$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

2. 通过变量代换得到：$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

3. 两边取对数：$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$

4. 利用指数和对数的逆运算关系，得到：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

因此： $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{e^t - 1} = 1$

关键理解：这是指数函数极限的逆运算。通过变量代换，将对数函数的极限转化为指数函数的极限，利用已知的指数函数极限得到结果。

推广形式

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + kx)}{x} = k$

等价无穷小

利用这个重要极限，我们可以得到重要的等价无穷小：

• 当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 + x) \sim x$

应用例子

例子 1

求 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x}$

解： $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x} = 3$

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练习题

练习 1

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x}$。

参考答案

解题思路：利用对数函数极限的推广形式。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} = 2$

答案：极限值为 2。

练习 2

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x)}{2x}$。

参考答案

解题思路：利用对数函数极限的推广形式和变量代换。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{4}{2} \cdot \frac{\ln(1 + 4x)}{4x} = 2 \cdot 1 = 2$

答案：极限值为 2。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\ln$	数学符号	自然对数	以 $e$ 为底的对数
$e$	数学符号	自然常数	自然对数的底数，约等于 2.71828
$\lim$	数学符号	极限	表示函数或数列的极限
$\to$	数学符号	趋向于	表示变量趋向于某个值

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
对数函数	logarithmic function	/ˌlɒɡəˈrɪðmɪk ˈfʌŋkʃən/	指数函数的反函数
自然对数	natural logarithm	/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪðəm/	以 $e$ 为底的对数
自然常数	natural constant	/ˈnætʃərəl ˈkɒnstənt/	自然对数的底数 $e$
等价无穷小	equivalent infinitesimal	/ɪˈkwɪvələnt ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/	两个无穷小的比值趋于 1
变量代换	variable substitution	/ˈveəriəbəl ˌsʌbstɪˈtjuːʃən/	用新变量替换原变量
逆运算	inverse operation	/ɪnˈvɜːs ˌɒpəˈreɪʃən/	与原运算相反的运算

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