因式分解法
因式分解法是求解 00 型不定式的重要方法。通过因式分解，我们可以约去分子分母中的零因子，从而求出极限值。
基本原理
当极限呈现 00 型不定式时，说明分子分母在极限点都为零。通过因式分解，我们可以找到共同的零因子并约去。
适用条件
1. 00 型不定式
- 分子在极限点为零
- 分母在极限点为零
- 分子分母有共同的零因子
2. 常见形式
- 多项式函数：P(x)=(x−a)Q(x)
- 有理函数：Q(x)P(x)，其中 P(a)=Q(a)=0
求解步骤
- 识别不定式类型
- 对分子分母进行因式分解
- 约去共同的零因子
- 直接代入求值
常用因式分解公式
1. 平方差公式
a2−b2=(a+b)(a−b)
2. 完全平方公式
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2−2ab+b2=(a−b)2
3. 立方和差公式
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
4. 多项式因式分解
xn−an=(x−a)(xn−1+axn−2+⋯+an−1)
典型例题
例题 1
求极限 limx→3x−3x2−9
参考答案
解题思路：
这是一个 00 型不定式，可以使用平方差公式因式分解。
详细步骤：
-
检查不定式类型：
- 当 x=3 时，分子 x2−9=9−9=0
- 当 x=3 时，分母 x−3=3−3=0
- 因此是 00 型不定式
-
对分子进行因式分解：
x2−9=x2−32=(x+3)(x−3)
-
约去零因子：
limx→3x−3x2−9=limx→3x−3(x+3)(x−3)=limx→3(x+3)
-
直接代入求值：
limx→3(x+3)=3+3=6
答案：
limx→3x−3x2−9=6
例题 2
求极限 limx→2x2−4x3−8
参考答案
解题思路：
这是一个 00 型不定式，需要分别对分子分母进行因式分解。
详细步骤：
-
检查不定式类型：
- 当 x=2 时，分子 x3−8=8−8=0
- 当 x=2 时，分母 x2−4=4−4=0
- 因此是 00 型不定式
-
对分子进行因式分解：
x3−8=x3−23=(x−2)(x2+2x+4)
-
对分母进行因式分解：
x2−4=x2−22=(x+2)(x−2)
-
约去零因子：
limx→2x2−4x3−8=limx→2(x+2)(x−2)(x−2)(x2+2x+4)=limx→2x+2x2+2x+4
-
直接代入求值：
limx→2x+2x2+2x+4=44+4+4=412=3
答案：
limx→2x2−4x3−8=3
练习题
练习 1
求极限 limx→1x2−1x4−1
参考答案
解题思路：
这是一个 00 型不定式，需要分别对分子分母进行因式分解。
详细步骤：
-
检查不定式类型：
- 当 x=1 时，分子 x4−1=1−1=0
- 当 x=1 时，分母 x2−1=1−1=0
- 因此是 00 型不定式
-
对分子进行因式分解：
x4−1=(x2)2−12=(x2+1)(x2−1)=(x2+1)(x+1)(x−1)
-
对分母进行因式分解：
x2−1=(x+1)(x−1)
-
约去零因子：
limx→1x2−1x4−1=limx→1(x+1)(x−1)(x2+1)(x+1)(x−1)=limx→1(x2+1)
-
直接代入求值：
limx→1(x2+1)=1+1=2
答案：
limx→1x2−1x4−1=2
练习 2
求极限 limx→−2x2+4x+4x3+8
参考答案
解题思路：
这是一个 00 型不定式，需要分别对分子分母进行因式分解。
详细步骤：
-
检查不定式类型：
- 当 x=−2 时，分子 x3+8=−8+8=0
- 当 x=−2 时，分母 x2+4x+4=4−8+4=0
- 因此是 00 型不定式
-
对分子进行因式分解：
x3+8=x3+23=(x+2)(x2−2x+4)
-
对分母进行因式分解：
x2+4x+4=(x+2)2
-
约去零因子：
limx→−2x2+4x+4x3+8=limx→−2(x+2)2(x+2)(x2−2x+4)=limx→−2x+2x2−2x+4
-
直接代入求值：
limx→−2x+2x2−2x+4=04+4+4
分母为零，需要进一步处理。
-
使用洛必达法则或重新因式分解：
由于分母为零，这个极限不存在。
答案：
该极限不存在。
