第二个重要极限

第二个重要极限是极限计算中另一个基础工具，它建立了自然常数 $e$ 与极限运算的关系，在金融、概率论等领域有重要应用。

极限表达式

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

其中 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数。

几何意义

这个极限的几何意义是：当 $x$ 趋向于无穷大时，$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ 趋向于自然常数 $e$。这个极限在复利计算、连续复利等金融问题中有重要应用。

复利解释

在复利计算中：

• 如果年利率为 $r$，每年复利 $n$ 次
• 则 $n$ 年后的本利和为：$A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$
• 当 $n \to \infty$ 时，得到连续复利：$A = Pe^{rt}$

证明思路

1. 数列形式

先证明数列 $x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 收敛于 $e$

2. 单调有界准则

• 可以证明数列单调递增
• 可以证明数列有上界
• 因此数列收敛

3. 函数形式

利用数列极限推广到函数极限

推广形式

1. 一般形式

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$

证明： $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{\frac{x}{a}}\right)^{\frac{x}{a} \cdot a} = e^a$

2. 复合形式

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)} = e$

其中 $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$

3. 倒数形式

$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

证明：

• 令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to \infty$
• $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e$

应用例子

例子 1

求 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$

解： $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = e^2$

例子 2

求 $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$

解：

• 令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to \infty$
• $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e$

例子 3

求 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{x^2}$

解：

• 令 $t = x^2$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to \infty$
• $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{x^2} = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e$

金融应用

连续复利

在金融中，连续复利的计算公式为： $A = P \cdot e^{rt}$

其中：

• $A$ 是最终金额
• $P$ 是本金
• $r$ 是年利率
• $t$ 是时间（年）

现值计算

现值计算公式为： $P = A \cdot e^{-rt}$

记忆技巧

口诀

• 一加倒数幂，极限等于 e
• 关键：记住 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ 的形式

推广记忆

• 第二个重要极限的推广：$\left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$

练习题

练习 1

求极限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x$。

参考答案

解题思路： 利用第二个重要极限的推广形式。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x = e^3$

答案：极限值为 $e^3$。

练习 2

求极限 $\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}}$。

参考答案

解题思路： 利用变量代换和第二个重要极限。

详细步骤：

1. 令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to \infty$

2. $\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{2}{t}\right)^t = e^2$

答案：极限值为 $e^2$。

练习 3

求极限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x+1}\right)^x$。

参考答案

解题思路： 利用变量代换和第二个重要极限。

详细步骤：

1. 令 $t = x + 1$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to \infty$

2. $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x+1}\right)^x = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t-1}$

3. $= \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t \cdot \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{-1} = e \cdot 1 = e$

答案：极限值为 $e$。